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2010 Fiscal Year Annual Research Report

非線形偏微分方程式に現れる界面運動と爆発現象の研究

Research Project

Project/Area Number 20340033
Research InstitutionThe University of Tokyo

Principal Investigator

俣野 博  東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (40126165)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 中村 健一  電気通信大学, 電気通信学部, 助教 (40293021)
Keywords非線形現象 / 非線形偏微分方程式 / 解の爆発 / 進行波 / 安定性 / 特異極限 / 界面運動 / 組みひも群
Research Abstract

交付申請書に記載した研究テーマについては概ね順調に研究が進展した.また,新たな研究テーマについても成果が得られた.
1.非等方的拡散方程式の特異極限と界面運動 ある種の非線形拡散方程式においては,拡散係数を0に近づけた特異極限下で不連続界面が現れ,多くの場合に極限界面曲の運動は曲率に支配されることが知られている.本研究では,非等方性をもつAllen-Cahn型方程式の特異極限を考察し,界面の位置と運動に関する精密な評価を導いた(文献[4]).
2.非線形熱方程式の解の爆発の研究 ベキ型非線形項をもつ熱方程式でベキがソボレフの臨界指数より大きいもの(超臨界型熱方程式)を考察し,フランスのF.Merle氏と共同でほとんどの爆発が「単交点爆発」であることを証明するとともに,この事実を利用して局所エネルギーに関する新しい結果が得られた(文献[1]).
3.ノコギリ型境界をもつ帯状領域における進行波の研究 本研究は,研究分担者の中村と中国同済大学のB.Lou氏と共同で進め,境界の凹凸がエルゴード的である場合の進行波の性質を詳しく解明できた.この成果は学術誌に投稿済みである.
4.3次元細胞電気生理学モデルの数学的研究 これは新たな研究テーマである.神経パルスの伝播は,細胞膜内外の電位差の変化が空間的に伝わる現象である.古典的モデルのHodgkin-Huxley方程式や,その簡易版のFitzHugh-Nagumo方程式は,いずれも細長い神経細胞(ニューロン)を1次元媒体で近似したものである.これに対し,細胞の3次元構造を考慮すると,方程式は細胞の境界面(すなわち細胞膜)上で定義された擬微分方程式になるが,その詳しい性質は未解明であった,本研究では,「作用素の擬正値性」という新しい概念を導入することにより,解の一様有界性を証明することができた.また,大域アトラクターの性質を調べた(文献[2]).
この他,組みひも群の理論を用いてdead core型特異性の生成速度を決定する研究についての成果(文献[3]),KPP型拡散方程式の速度を最大化する係数を求める問題についての研究成果(文献[5]),および空間1次元の半線形拡散方程式の漸近挙動に関する研究成果(文献[6])を公表することができた.

  • Research Products

    (13 results)

All 2011 2010

All Journal Article (6 results) (of which Peer Reviewed: 6 results) Presentation (7 results)

  • [Journal Article] Threshold and generic type I behaviors for a supercritical nonlinear heat equation2011

    • Author(s)
      H.Matano, F.Merle
    • Journal Title

      J.Functional Analysis

      Volume: 掲載確定 Pages: 掲載確定

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Global existence and uniqueness of a three-dimensional model of cellular electrophysiology2011

    • Author(s)
      H.Matano, Y.Mori
    • Journal Title

      Discrete and Continuous Dynamical Systems, Ser.A

      Volume: 29 Pages: 1573-1636

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] An application of braid group theory to the finite time dead-core rate2010

    • Author(s)
      J.-S.Guo, H- Matano, C.-C.Wu
    • Journal Title

      J.Evolution Equations

      Volume: 10 Pages: 835-855

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Motion by anisotropic mean curvature as sharp interface limit of an inhomogeneous and anisotropic Allen-Cahn equation2010

    • Author(s)
      M.Alfaro, H.Garcke, D.Hilhorst, H.Matano, R.
    • Journal Title

      Proc.Royal Society of Edinburgh, Ser.A

      Volume: 140 Pages: 673-706

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] A variational problem associated with the minimal speed of travelling waves for spatially periodic reaction-diffusion equations2010

    • Author(s)
      X.Liang, X.Lin, H.Matano
    • Journal Title

      Transactions of American Mathematical Society

      Volume: 462 Pages: 5605-5603

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Convergence and sharp thresholds for propagation in nonlinear diffusion problems2010

    • Author(s)
      Y.Du, H.Matano
    • Journal Title

      Journal of European Mathematical Society

      Volume: 12 Pages: 279-312

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Global solutions for a 3D model of cellular electrophysiology2011

    • Author(s)
      俣野博
    • Organizer
      Conference on Far-From-Equilibrium-Dynamics 2011
    • Place of Presentation
      京都大学
    • Year and Date
      2011-01-07
  • [Presentation] Front propagation under ergodic perturbations; Front progapation in the hyperbolic space2010

    • Author(s)
      俣野博
    • Organizer
      Conference on Nonlinear PDE's
    • Place of Presentation
      ポハン工科大学(韓国)
    • Year and Date
      20101006-20101007
  • [Presentation] On supercritical blow-up for the nonlinear heat equation2010

    • Author(s)
      俣野博
    • Organizer
      Workshop on Qualitative Studies of Evolution PDEs
    • Place of Presentation
      セルジポントワーズ大学(フランス)
    • Year and Date
      2010-12-13
  • [Presentation] Front propagation in hyperbolic space2010

    • Author(s)
      俣野博
    • Organizer
      Conference on Interface Motion and Traveling Waves in Reaction Diffusion Equations
    • Place of Presentation
      同済大学(中国)
    • Year and Date
      2010-10-14
  • [Presentation] Comparison of the rescaled energy for supercritical nonlinear heat equations2010

    • Author(s)
      俣野博
    • Organizer
      4th Euro-Japanese Conference on Blow-up
    • Place of Presentation
      ライデン大学(オランダ)
    • Year and Date
      2010-09-07
  • [Presentation] Front propagation on nonlinear diffusion equation on hyperbolic space2010

    • Author(s)
      俣野博
    • Organizer
      Workshop on Recent Advances on de Giorgi's Conjecture and the Study of Entire Solutions of Nonlinear Scalar Equations
    • Place of Presentation
      バンフセンター(カナダ)
    • Year and Date
      2010-08-09
  • [Presentation] Threshold and generic type I behaviors for a supercritical nonlinear heat equation2010

    • Author(s)
      俣野博
    • Organizer
      8th AIMS International Conference on "Dynamical Systems, Differential Equations and Applications"
    • Place of Presentation
      ドレスデン大学(ドイツ)
    • Year and Date
      2010-05-26

URL: 

Published: 2012-07-19  

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