2009 Fiscal Year Annual Research Report
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20340037
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
田中 和永 Waseda University, 理工学術院, 教授 (20188288)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
大谷 光春 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (30119656)
小澤 徹 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (70204196)
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| Keywords | 変分法 / 非線型楕円型方程式 / 特異摂動問題 |
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| Research Abstract |
本年度得られた結果のうち主要なものについて述べる.
まず比較的弱い相互作用をもつ2本の非線型シュレディンガー方程式に対する特異摂動問題を考察し,従来知られていないプロファイルをもつ凝集解の存在証明に成功した.ここで得られた解はrescaleすると非自明なベクトル解に収束し,また凝集点は2つのポテンシャルから定まるある種のエネルギー関数の最小点として特徴づけられる.
この存在定理の証明のために,極限問題-ホテンシャルが定数関数の方程式系-の詳細な解析から始め,エネルギー最小ベクトル解の従来とは異なった2次元ミニマックス法による構成法を与え,最小エネルギーレベルの性質の性質を詳細に調べた.また特異摂動解の構成においては無限次元manifold上でのlocal mountain pessタイプの議論を発展させ用いている.
この研究以前に知られていた凝集解のプロファイルは半自明解(1成分は0でないが,他の成分は恒等的に0の解)を極限としてもち,今回得られたものとは全く異なるものである.なお,今回の結果より非線型シュレディンガー方程式系は単独の非線型シュレディンガー方程式と比較すると非常に豐かな構造を持つことも分かる.
また単独の非線型シュレディンガー方程式に対しても特異摂動問題を研究を行った.
特にポテンシャルの位相的に非自明な臨界点に凝集する特異摂動解の存在を研究し,その存在を非常に一般的な設定の下で示した.証明では対応する汎関数に対して通常とは異なるdeformation flowの構成が本質的な役割を果たしている.さらに,ここで用いられた方法はclustered peakをもつ凝集解の構成等においても有功と思われ,現在さらなる発展を目指して研究が進展している.
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