2009 Fiscal Year Annual Research Report
アフィン量子群のレベル・ゼロ表現の結晶基底の代数的サイクルとしての実現
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20540006
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
内藤 聡 University of Tsukuba, 大学院・数理物質科学研究科, 准教授 (60252160)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
竹山 美宏 筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 講師 (60375392)
佐垣 大輔 筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 講師 (40344866)
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| Keywords | 結晶基底 / Demazure crystal / Mirkovic-Vilonenサイクル / Mirkovic-Vilonen多面体 / アフィン・グラスマン多様体 / Minkowski和 / 既約最高ウエイト加群 / 量子群 |
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| Research Abstract |
Gを連結な複素半単純代数群、gをGの(Lanelandsの意味での)双対リー環、bをその(正ルートに対応する)Borel部分環とする。g(に付随する量子群)の優整形式λを最高ウエイトとする既約最高ウエイト加群L(λ)の結晶基底B(λ)の元は、Gに付随するアフィン・グラスマン多様体の中のMirkovic-Vilonen(MV)サイクル(と呼ばれる、有限次元閉部分代数多様体)のモーメント写像による像としてMirkovic-Vilonen(MV)多面体(と呼ばれる、有限個の頂点を持つ凸多面体)として実現される。
今、λとμをgの優整形式とすると、結晶基底B(λ)とB(μ)のクリスタルとしてのテンソル積の既約成分への分解に現れる既約成分は全て、gのある優整形式τに対ける結晶基底B(τ)という形をしている。従って、結晶基底B(λ)に属するMV多面体Pと結晶系底B(μ)に属するMV多面体Qのクリスタルとしてのテンソル積は、ある優整形式τに対する結晶基底B(τ)に属するMV多面体Rと同一視する事が出来る。
我々は、先ず、BravermanとGaitseoryによる結晶基底のテンソル積のMVサイクルを用いた幾何学的構成を、精密に見直しか。そしてその結果として、上記の状況の下で、さらにPがextremal MV多面体であると仮定すると、MV多面体RはMV多面体PとMV面体QのMinkowski和に(集合として)含まれる事を証明した。
さらに、この評価を利用する事により、gのWeyl群Wの多元wに対して定まるL(λ)の部分b-加群であるDemazure加群L_{W}(λ)の結晶基底B_{w}(λ)(これは、Demazure crystalと呼ばれる、B(λ)の部分クリスタルでめる)に属するMV多面体は、ウエイトw(λ)のextremal MV多面体に(集合として)含まれる事を証明する事が出来た。
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