2009 Fiscal Year Annual Research Report
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20540017
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
坂内 英一 Kyushu University, 大学院・数理学研究院, 学術研究者 (10011652)
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| Keywords | 代数的組合せ論 / アソシエーションスキーム / デザイン / 格子 / モジュラー形式 / coherent configuration / Lehmer予想 / tight design |
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| Research Abstract |
球面上の良い有限集合およびユークリッド空間内の良い有限集合の研究が主目的であり、特にtight t-デザインおよびそれに近いものの分類が当面の目標であった。坂内悦子との一連の共同研究で、2つの球面上にのっているtight t-デザインの分類についてt=4, 5, 7の場合に結果を得てそれらを論文に発表していたが、本年度は新しくt=9の場合に完全な結果を得ることが出来た。ここで用いた方法は他のより大きなtに対しても拡張可能であることを示唆している。なお、t=6の場合は完全な分類へ向けて努力中であるが、22次元におけるひとつの新しい例を見いだした(坂内悦子および重住淳一との共同研究)。これらの考察においては、球面上の良いt-デザインにアソシエーションスキームが関係しているというDelsarte-Goethals-Seidelの有名な結果の類似として、ユークリッド空間内の良いユークリッドt-デザインにcoherent configurationの構造が入るということがその基礎にあり、現在tightに限らないこれらの良い構造を持つユークリッドt-デザインの分類問題に取りも組んでいて、特にt=4の場合に新しい成果を得た(坂内悦子との共同研究)。他にreal hyperbolic spacesにおけるt-デザインの定義を得ることに成功した。ラマヌジャンτ関数の値は決して0にならないという整数論におけるLehmerの予想と格子のshellとして得られる球面上のデザインと間に密接な関係があることをVenkov達が見いだしていた。Lehmer予想自体は難しく解決までにはまだ多くの困難があるが、三枝崎剛との共同研究において、2次元の2つの格子の場合に類似の結果を得ることに成功した。またその拡張にも成功し、さらにV. Yudinを含めた共同研究においてそれらの結果の一部に対してmodular formを用いないelementaryな証明を得ることも出来た。
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