| Research Abstract |
昨年度に引き続き,次数d,余次元eの射影多様体Xは,次数d-e+1以下の超曲面の共通部分E(X)と一致するかという射影多様体の埋込みの問題の解決を目標に研究を行った.そのため特に,Xが双有理に写されない線形射影のXの外の中心点の集まりB(X)と,Xが双有理に写されない線形射影のX内の中心点の集まりC(X)の構造及び,B(X)とC(X)を持つ射影多様体の特徴づけとその構成方法を研究した.本年度は特に,C(X)が空でない射影多様体の構成法を与え,C(X)をXから分離する超曲面を具体的に書き下した.実際,Xは,(dim X+1)-次元のスクロールとして双有理に写された射影束Fの因子の像となっているので,その因子のFでの方程式とF上の線形系を使い,方程式を与えた.これに基づき,C(X)が空でない射影多様体の具体例を構成し,定義方程式を検討した.しかし,その次数の上限を与えることは,B(X)の場合も含めて,次年度以降の課題となった.構成法と関連して,線形部分空間がB(X)やC(X)の既約成分となるための条件を得ることができた.更に,B(X)やC(X)を持つ射影多様体の特徴づけの応用として,非特異影多様体のイデアルを(d-e+1)次だけ捻ると半豊富となることを証明した.実際は,より強く,捻られたイデアルは,固定点を持たないことが期待されている.この半豊富性より,Mumford-Bertrum-Ein-Lazarsfeldによって示されていたCastelnuovo-Mumford regularityの上限を改良し,非特異影多様体のイデアルは(e(d-e)+1)-regularであることを示し,加えて,漸近的なregularityの上限がd-e+1となることを示した.後者により,regularity予想の一つの状況証拠を得ることができた.
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