リッチフローの曲率基点評価

2011 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 20540068
• Research Institution: Ochanomizu University
• Principal Investigator: 戸田 正人 お茶の水女子大学, 大学院・人間文化創成科学研究科, 准教授 (80291566)
• Keywords: リッチフロー

Research Abstract

多様体M上のリッチフローの特異時間付近での曲率の基点評価を行うのに局所的な位相や曲率の集中に反応する量を見つけるため、Mの余接空間(相空間)上のハミルトン力学系を考察する計画であったが、実際に研究を進めていくと、むしろリッチフロー上にツイスター空間Zを考え、そのエルミート幾何を研究するほうが自然に感じられたので、その設定を導入、考察したのが今年度の主たる研究成果である。
ツイスター空間を考える利点はいくつかある。M上にスピン構造あるいは複素スピン構造が与えられるとZ上には標準複素線束が定まり、そのチャーン類やエルミート接続の曲率を介して、Mの位相の集中を直接観察できる。さらにペレルマンの導入したエントロピーがスピノールのディラック作用素に関するワイツェンベック公式を用いて表現できるから、エントロピーとの関係も直接的である。技術的にはM上のスピノール束を引き戻すとZの概複素構造に関する係数つきドルボー複体の部分束に持ち上がるが、特にMが4次元の場合、スピノール束の次数0の成分はZ上で複素線束に分裂し、ワイツェンベック公式やそれに関連する解析は複素線東上のそれに帰着する。
スピノール主束とその主束としての同型を考えることにより、Zやその上の複素線束に対してゲージ群作用を考えることができるので、この点でもツイスター空間を用いた設定は自然である。作用する群はMの自己微分同相群を主束のゲージ群で拡大したものとなるが、この作用によりリッチフローのパラメータ変換の選び方が適当なスピノール場に依存してこの設定中で定まることが期待される。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

決まった段階を踏んで解決する問題ではないので、研究の性質上、進展が順調かどうか評価をするのは不可能に近いが、現時点で満足のいく結論が出ていない、ということで上の区分としておく。

Strategy for Future Research Activity

リッチフローのツイスター空間上での解析を進めていく。まずはリッチフローのパラメータの選び方をスピノールやツイスター空間上の線束の切断と関連してどのように決定していくのかを中心に研究を進めていきたい。