2011 Fiscal Year Annual Research Report
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20540181
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| Research Institution | University of Miyazaki |
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Principal Investigator |
北 直泰 宮崎大学, 教育文化学部, 准教授 (70336056)
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| Keywords | 非線形Schrodinger方程式 / 非線形偏微分方程式 |
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| Research Abstract |
非線形シュレディンガー方程式の初期値問題で,初期データに特異性の強い超関数を与えて解の構成を試みた.空間1次元で非線形項の次数が3であり,しかも非線形項にゲージ不変性と呼ばれる性質がある場合には,Kenig-Ponce-VegaおよびChrist-Colliander-Taoらによって,負の指数を持つソボレフ空間において解の適切性が崩れることがすでに示されている.その一方で,本研究では非線形項の次数を3より小さくすれば超関数の枠組み(特に台の異なるδ関数の線形結合で表現される枠組み)で解の構成が可能であることを示唆している.また,本研究ではより一般にn次元空間における時間大域解の構成も試みている.実際,初期データが超関数であったとしてもδ関数のように特殊な性質を有するものであれば,線形シュレディンガー方程式の解作用素が有する分散効果を利用することで,非線形評価を推し進めることが可能になる.本研究で見出された知見を端的に記述すれば,まさにこの一文に尽きるとも言えよう.このアイデアによって,具体的な素性がよく見えるような解が構成できたことが特筆すべきところである.詳細に述べると,初期データが2つ以上のδ関数の重ね合わせで表現されているときには,非線形効果によって時刻の経過とともに新しいモードが瞬時に生み出されていくことが解明できた.このようなモードの生成は線形のシュレディンガー方程式では見られない性質である.ただし,この解の一意性を十分広い関数空間で示す問題は未だに解決できていないし,解の時刻∞付近における漸近的挙動も特定されていないので,これが今後の研究対象として残されている.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
研究対象が新しいものであるから、応用用可能な前例がない。そのため、自らの力で課題解決に向けた方法論を確立せねばならない。初期データに含まれる3つのδ関数の台の配置が無理数比になると、手ごろな保存量が未だに見つかっていないため、時間大域的な解の構成に紛糾しているところである。
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| Strategy for Future Research Activity |
初期データがδ関数で与えられている解について、その時刻∞における漸近挙動を同定する方向でひとまずこの研究を推し進めていく予定である。本研究で取り扱っている非線形項は劣臨界型であるため、本来ならば解の漸近的挙動を同定することは難しい部類に属するのだが、Hayashi-Kaikina-Naumkinらによって開発された手法い適宜改良を加えて当面の目標を達成しようと考えている。
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