2009 Fiscal Year Annual Research Report
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20540218
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
古谷 賢朗 Tokyo University of Science, 理工学部, 教授 (70112901)
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| Keywords | sub-Riemann多様体 / sub-Laplacian / Grushin type Operator / Hamilton system / 陪特性曲線 / nilmanifold / spectral zeta function / zeta-regularized determinant |
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| Research Abstract |
本年度はsub-Riemannian幾何学と、sub-Laplacianに関して以下の研究を主として行った。
(1)Hopf fibering S^3→CP^1〓S^2に関して、S^3上の左不変なsub-Laplacianと対応するS^2上のGrushin type作用素(=Spherical Grushin Opeator=SGO)の陪特性曲線をexplicitに構成した。
ここではSGOの陪特性曲線を定めるHamilton方程式を解くことは、Hopf fiberingを右剰余類によるものとみることによってS^2上での通常の計量(Fubini-Study計量)に関するisoperimetric問題を解くことに還元することが出来ることを見出し、特にSGOの定めるS^2上のsingular metric(=Grushin metric)に関して、equator(この上ではGrushin metricが爆発している)上からでる測地線を具体的に表示した。類似の構造は他の3次元Lie群(SL(2,R)、Heisenberg group)を全空間にするDouble Fibering構造(右剰余類と左剰余類)のもとsub-Laplacianの陪特性曲線を定めるHamilton方程式の解は、他方での底空間でのisoperimetric problemの解と一対一に対応している事実に基づき解を具体的に構成出来ることが分かった。
(2)またいくつかのcompact nilmanifolds上のsub-Laplacianのspectral zeta関数の解析接続を具体的に与えた。ここで扱った例ではすべて極が唯一つであり、原点で正則であることも分かり、さらにzeta-regularized determinantの積分表示も得た。
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