2011 Fiscal Year Annual Research Report
群作用付孤立超曲面特異点のホモロジー的ミラー対称性
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20684003
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
高橋 篤史 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (50314290)
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| Keywords | 幾何学 / 代数学 / 数理物理学 / ミラー対称性 |
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| Research Abstract |
群作用付孤立超曲面特異点のミラー対称煙は,7,555個の位相的ミラー対をなすカラビ-ヤウ多様体の発見をもたらした.最近,堀氏・Orlov氏・研究代表者らにより,80年代中旬の特異点理論における行列因子化のアイデアで,その理解が急速に進んでいる.離散群・特異点・ルート系・リー環・有限次元代数の間にある不思議な関係を解明するため,ホモロジー的ミラー対称性の観点から,群作用付き行列因子化の圏およびその安定性条件の空間の構造解明を目指し,研究を行った.これまでの研究において,群作用付き超曲面特異点に対するホモロジー的ミラー対称性予想の定式化および予想成立の状況証拠を与えていた.
本年度は昨年度の研究をさらに拡張し,群作用付きの「カスプ特異点」と滑らかな射影曲線を粗なモジュライ空間としてもつオーピフォールドのホモロジー的ミラー対称性予想の幾何学的側面に関する命題を証明することができた.具体的には,群作用付孤立超曲面特異点に対して,昨年度の成果である,代数的に定義した「ガブリエロフ数」が,あるトーリック多様体の超曲面における消滅曲面として得られる,ということを証明した.これにより,昨年度の代数的な結果が幾何学的な結果と一致することが確認された.
また,昨年度は単純楕円型特異点と重み付き射影直線のミラー対に対して,平坦構造をそれぞれ原始形式とグロモフ-ウィッテン不変量の理論から構成し,その同型写像を構成したが,今年度はこの対応を一般のカスプ特異点と重み付き射影曲線の場合に拡張することに成功した.とくに,Dubrovin-zhangによる,拡大アフィンワイル群の不変式論に基づき構成された平坦構造とアフィンカスプ特異点から得られる平坦構造の同型を証明することができた.
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