2008 Fiscal Year Annual Research Report
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20740020
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| Research Institution | Kagoshima University |
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Principal Investigator |
伊藤 稔 Kagoshima University, 理学部, 准教授 (60381141)
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| Keywords | テンソル代数 / カペリ恒等式 / dual pair / 不変式論の第一基定理 |
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| Research Abstract |
テンソル代数を自然に含む代数の研究を引き続き行った。一昨年から昨年にかけて構成したこの代数には、ある種の微分作用素が自然に作用し、興味深い性質が成り立つ。このテンソル代数の拡張と微分作用素の枠組みを利用して、immanantという行列函数、そして一般線型リー環の普遍包絡環の中心の基底であるquantum immanantを研究した。重要な成果はpreimmanantという行列から群環への写像を定義したことである。このpreimmanantはimmanantを初めとする行列空間上の様々な不変式の母函数と見なせる。このpreimmanantのレベルでimmanantの様々な不変性やCauchy-Binet関係式などが成り立つことを発見した。Quantum immanantについても同様に、quantum preimmanantを考えることで理論的に整備した。これらは直交リー環やシンプレクティックリー環の普遍包絡環におけるquantum immanantの類似を考える手がかりとして期待できる。これらを含めた昨年からの一連の成果を現在、論文"Extensions of the tensor algebra and their application"としてまとめている。
またテンソル代数の拡張の別の応用として、テンソル代数上の不変式論についても研究を進めた。この枠組みで一般線型群に関するSchur-Weyl双対性が簡潔に証明できるが、その背景にある構造を明らかにして、これを一般化するための基盤を作った。また調和テンソル(トレースレス テンソル)の空間が、我々の微分作用素で作られるラプラシアンの類似の核に等しいことを発見した。これを手がかりにこれまでの成果を直交群・シンプレクティック群に関するSchur-Wey1双対性へ一般化することを目指している。
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