| Research Abstract |
まずは通常のトーリック森理論についてである.京大の藤野氏と共同で,ネフコーンと擬有効錐の境界の交わりが原点のみになるような滑らかな射影的トーリック多様体を構成した.この条件は,言い換えると,全ての非自明なネフ直線束が巨大になる,という意味である.低次元め多様体への射が無い,という例であり,双有理幾何的に興味深い多様体である.また,この多様体の他にも,トーリックのカテゴリーの中で,弱ファノ多様体からのフラットかつ全射な射であって,行き先が弱ファノ多様体とはならないような例も構成した.いずれの例も,森理論を研究する上で,心に留めておきたい例だと思う.それらを中間次元サイクルの森理論に活かすのは今後の課題である.
次に2サイクルのトーリック森理論についてである.まず一つ目の結果としては,2サイクルの数値的同値類のなすコーン,つまり2森コーンの組み合わせ論的な記述が完成したことがある.対象となるトーリック多様体上の曲面が射影曲面,ヒルツェブルフ曲面に同型である場合については,既に計算されていたのであるが,本研究では,更に,曲面をブロー・アップした場合について,通常の森理論における1サイクルの組み合わせ論的な表現,例えば原始的関係などと同様な表現を与えた.全てのトーリック曲面は射影曲面,ヒルツェブルフ曲面を有限回ブロー・アップして得られるので,この結果は全ての曲面に対して十分な結果であることが分かる.二つ目の結果は,一つ目の結果の応用であるが,様々なトーリック多様体に対して,2ファノ性をチェックしたことである.一つ目の結果のお陰で,非常に計算が短縮されている.
最後に,双有理幾何との関連から,トーリック・ファノ多様体の導来圏の生成元に関する計算を,コンピューターを用いて計算した.未だ不明であるが,高次サイクルの森コーンとの関連が得られれば良いと思う.
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