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2009 Fiscal Year Annual Research Report

ラグランジュファイバー空間における局所トーラス作用の研究

Research Project

Project/Area Number 20740029
Research InstitutionMeiji University

Principal Investigator

吉田 尚彦  Meiji University, 研究・知財戦略機構, 研究員 (70451903)

Keywords幾何学 / トポロジー / 数理物理 / 指数 / 局所化
Research Abstract

前量子化束を許容する特異Lagrangeファイバー束について,Riemann-Roch数とBohr-Sommerfeldファイバーの個数が一致する現象がさまざまな例で,主に双方を別々に計算し比べることにより,観察されている.本研究の目的は,この現象が起こるメカニズムをDirac型作用素の指数の局所化の観点から解明することであった.
これについて,前年度はWitten摂動のアイディアを用いて,Riemann-Roch数が非特異Bohr-Sommerfeldファイバーの個数と特異ファイバーからの寄与で表せることを証明した.特に,非特異Lagrangeファイバー束については,上記の現象が起こるメカニズムをDirac型作用素の指数の局所化の観点から解明することができた.しかし,特異ファイバーがある場合,得られた結果は実際の現象と比べると,特異ファイバーの近傍での局所化の精度が不十分であった。そこで,今年度はこの点を改善すべく研究を行い,以下の結果を得た.
1.開多様体上のDirac型作用素の指数の定式化とその性質.閉多様体上のDirac型作用素はFredholmであるため,指数が定義でき,様々な状況下でその局所化定理が知られている.しかし,開多様体上のDirac型作用素は一般にはFredholmではない.これについて,開多様体が無限遠であるacyclicityを満たすトーラスファイバー束の族を許容する場合,その上のDirac型作用素に対して指数を定式化し,連続変形不変性,切除性,積公式などの性質を持つことを証明した.
2. 4次元局所トーリックLagrangeファイバー束への応用.結果1の応用として,前年度得られた結果について,特異ファイバーの近傍での局所化の精度を向上させることができた.特に,前量子化束を許容する4次元局所トーリックLagrangeファイバー束について,Riemann-Roch数が特異,非特異両方のBohr-Sommerfeldファイバーの個数と一致することを証明した.
Dirac型作用素の指数のWitten摂動による局所化は,この現象のメカニズム解明への非常に良い手法と思われるが,今回の研究では,メカニズムの完全な解明には至らなかった。この研究をさらに進め,上記の現象やGuillemin-Sternberg予想などを,Dirac型作用素の指数の局所化という現象を通じて,統一的に理解することが今後の課題である.

  • Research Products

    (8 results)

All 2010 2009

All Journal Article (2 results) (of which Peer Reviewed: 1 results) Presentation (6 results)

  • [Journal Article] Torus fibrations and localization of index II2009

    • Author(s)
      藤田玄, 古田幹雄, 吉田尚彦
    • Journal Title

      UTMS Preprint Series 2009-21

      Pages: 64

    • URL

      http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/user

  • [Journal Article] On manifolds which are locally modeled on the standard representation of a torus2009

    • Author(s)
      吉田尚彦
    • Journal Title

      Advanced Studies in Pure Mathematics, Mathematical Society of Japan 55

      Pages: 353-363

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] RR=#BS via locahzation of index2010

    • Author(s)
      吉田尚彦
    • Organizer
      KAIST Toric Topology Workshop 2010
    • Place of Presentation
      KAIST(太田,韓国)(連続講演:1時間×7回)
    • Year and Date
      20100222-20100301
  • [Presentation] Torus fibrations and localization of index2009

    • Author(s)
      吉田尚彦
    • Organizer
      第36回変換群論シンポジウム
    • Place of Presentation
      大阪市立大学
    • Year and Date
      2009-12-10
  • [Presentation] Torus fibrations and localization of index2009

    • Author(s)
      吉田尚彦
    • Organizer
      トポロジー火曜セミナー
    • Place of Presentation
      東京大学
    • Year and Date
      2009-10-20
  • [Presentation] Torus fibrations and localization of index2009

    • Author(s)
      吉田尚彦
    • Organizer
      量子化の幾何学2009
    • Place of Presentation
      早稲田大学
    • Year and Date
      2009-09-17
  • [Presentation] Torus fibrations and localization of index2009

    • Author(s)
      吉田尚彦
    • Organizer
      International Conference on Geometry and Quantization
    • Place of Presentation
      University of Luxembourg(Luxembourg)
    • Year and Date
      2009-09-08
  • [Presentation] Acyclic polarizations and locahzation of Riemann-Roch numbers2009

    • Author(s)
      吉田尚彦
    • Organizer
      微分幾何学セミナー
    • Place of Presentation
      大阪市立大学
    • Year and Date
      2009-06-10

URL: 

Published: 2011-06-16   Modified: 2016-04-21  

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