2010 Fiscal Year Annual Research Report
変分構造をもつ幾何学的時間発展方程式の解の挙動に関する研究
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20740086
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| Research Institution | Muroran Institute of Technology |
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Principal Investigator |
高坂 良史 室蘭工業大学, 大学院・工学研究科, 准教授 (00360967)
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| Keywords | 表面拡散方程式 / 境界付き曲面 / 平均曲率一定曲面 / 曲線短縮方程式 / 特異点 |
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| Research Abstract |
本年度はまず、幾何学的時間発展方程式である表面拡散方程式によって動きが記述される曲面について研究を行った。特に、境界付きの曲面が軸対象という設定のもとで研究を行い、この設定のもとで表面拡散方程式に対する定常曲面の線形安定性の判定基準の導出を試みた。境界条件としては、この問題に対応するエネルギーを最小にするという観点から自然に導かれる境界条件である、角度条件と平均曲率の1次導関数に関する条件を課した。曲面が平行面の間にある場合に関してはVogel等の研究結果があるため、境界面がより一般的な場合に関して研究を進めた。この場合、線形化方程式に境界面に関する項が現れ、線形安定性の判定に影響する。その項の複雑さから一般的な安定性の判定基準を得るには今回至らなかったため、境界面が球面の場合など具体的な場合について安定性の解析を試みた。今後はこの解析結果をもとに、より一般的な境界面について結果が得られるよう引き続き解析を進めていく。
一方、幾何学的時間発展方程式によって動きが支配される曲線または曲面は、初期状態によっては時間発展の過程で特異点が生じることが知られている。特異点をまたいだ解析は、解析学的には弱解の概念を導入して解を構成し解析する方法が標準的であるが、本研究では幾何学的な観点から発現する特異点を分類し、その特異点をもつ図形を初期値とする解を構成するという方向から解析できないか検討した。そこで、まずは曲線短縮方程式に関して考察を行った。本年度はHamilton等の論文の検討にとどまり新たな結果を導くことはできなかったが、来年度も引き続きこの方向の研究を進めていく予定である。
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