フロベニウス写像による直像の安定性と正標数代数幾何

2009 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 20840032
• Research Institution: Hiroshima University
• Principal Investigator: 北臺 如法 Hiroshima University, 大学院・工学研究科, 特任助教 (30511563)
• Keywords: 代数幾何学 / 正標数 / ベクトル束 / 安定性 / 平安定余接束 / dc Rham 複体 / 小平消滅定理

Research Abstract

正標数の代数多様体上のベクトル束がフロベニウス写像による直像をとることで安定性が保たれるかどうかという問題と関連する問題について引き続き研究した。研究代表者は隅廣秀康氏との共同研究により、主に曲面の場合についてフロベニウス写像による直像の安定性に関する結果を得ていた。
その中で標準的フィルタ付けの次数部分の安定性の解析や半安定な余接束を持つ多様体が重要であった。しかし半安定な余接束を持つ多様体の例をあまり知らないため、その例、あるいはフロベニウス写像による引き戻しで半安定性が崩れる余接束を持つ多様体の計算のための研究を行った。
曲面の余接束は階数であるので、それに含まれる直線束の傾きを調べるという方向で研究を進めた。
その中で、ピカール群がよくわかっている曲面に対して、直線束が余接束あるいはその数回のフロベニウス写像による引き戻しに含まれる条件を、具体的な層の貼り合わせを計算することにより行うという着想を得た。これにより、他の特別な階数のベクトル束については計算機による半安定性の計算ができるのではないかという感触を得ており、その一般化に向けての計算代数的なアルゴリズムの研究については今後の課題としたい。
また京都大学数理解析研究所、神戸大学、立教大学、大阪大学、兵庫県城崎大会議館、東京大学、高知大学、慶應義塾大学を訪問し、大変多くの代数幾何学者との議論・情報交換・情報収集ができたことは非常に有益であった。