2020 Fiscal Year Annual Research Report
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20F20319
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
山本 昌宏 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50182647)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
HUANG XINCHI 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 外国人特別研究員
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| Project Period (FY) |
2020-11-13 – 2023-03-31
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| Keywords | 非整数階偏微分方程式 / 混合型非整数階微分 / 一意存在 / 逆問題 / 一意性 / 安定性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
まず、単独の時間について非整数階の微分項を持つ非整数階偏微分方程式を対象とし、解の一意存在性・漸近挙動などの基本性質を明らかにしていった。時間微分の項が古典的なものと大きく異なり作用素論的な扱いを要するので、そのための偏微分方程式論的な方法論を考えて確立を目指した。次に、そのような基礎理論に基づき、係数や非整数階微分の階数など現象を規定する重要なパラメータを解の観測可能なデータから決定するという逆問題における一意性や安定性などの数学解析に関してを考察を進めた。非整数階偏微分方程式は、モデル方程式として応用分野でもその数学解析が求められており、本研究はそのような要請に応える数学解析の成果を目指している。さらに混合型の非整数階微分を持つ偏微分方程式にも研究対象を広げた。本研究による成果を用いて、産業界・環境問題に関連する逆問題の解決に寄与していくことに努め、応用面からのフィードバックにより、非整数階偏微分方程式に対する数学解析を深化させることを目指した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
単独の非整数階時間微分項をもつ非整数階微分方程式が当初の研究対象であったが、これまでの研究やサーベイにより、混合型の非整数階微分を持つ偏微分方程式にも研究対象を広げた。これは物理的にも意義があり、きわめて多様な形の方程式を含み、それぞれに数学解析の手法を工夫することが要求される。このようなことから、研究の深化とともに拡大が大いに期待される。それに伴う逆問題のタイプも多様化した。さらにいままで蓄積された方法論や知見によってそれらを解決する見通しもある。
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| Strategy for Future Research Activity |
１．非整数階拡散・波動方程式に関して、前年度に引き続いて先行研究のサーベイを行う。対象とする非整数階偏微分方程式には多くの種類があり、それぞれ実際の現象と関連して重要である。関連する現象論としては、物理、工学の異なる分野で研究が進んでいるが、しばしば数学的な基礎付けが希薄な場合がある。そこで、まず、関連する物理、工学分野における非整数階微分方程式の研究成果を、専門家にサーベイしてもらい、数学的な課題の洗い出しを行う。
２．以上の段階を踏まえて、主に単独の方程式の場合、特に整数階の時間微分に非整数階の微分が足された形の非整数階偏微分方程式の数学解析を行う。このような非整数階・整数階微分混合型の方程式は粘弾性などと関連して広く研究されてきたが、数学的に完備した成果はまだ不十分でである。本年度は、この課題に集中的に取り組む。
３．感染症の影響で、海外出張などに困難さが想定されるので、国内出張を計画している。現有設備の範囲で研究計画を遂行するので設備備品費は計上していない。上記の１に関連して書籍購入などのための物品費を計上している。
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