2021 Fiscal Year Annual Research Report
Randomization of persistent homology and its interaction with Schubert calculus
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20H00119
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
平岡 裕章 京都大学, 高等研究院, 教授 (10432709)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
池田 岳 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (40309539)
赤木 和人 東北大学, 材料科学高等研究所, 准教授 (50313119)
白井 朋之 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (70302932)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | パーシステントホモロジー / 大数の法則 / 大偏差原理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
繰越研究に相当する本テーマではおもにパーシステントホモロジーの確率論的研究を実施した。ランダムトポロジーの問題として、大数の法則、中心極限定理、大偏差原理といった代表的な極限定理を証明することに成功し、それらに関する論文を執筆して投稿まで完了させた。より具体的には、ユークリッド空間内の方体集合に対して、適切な仮定を満たすランダムネスを各方体に与えることでランダム方体複体およびそのフィルトレーションモデルを定義し、それらに対してパーシステント図の極限的振る舞いを調べた。なお極限は方体複体が有限型になるように適当な窓で制限をかけ、その窓のサイズを無限大にする極限として定式化している。特に今年度の成果としては、大数の法則および大偏差原理について比較的緩い仮定のもとで、満足のいく形での定理を証明することに成功した。この際に開発したいくつかの手法は今後ランダムトポロジーの分野で重要になってくると思われる。そのなかでもパーシステント図をラドン測度とみなし、ラドン測度の空間における大偏差原理を証明する際に開発した方法論は、射影極限やベッチ数の空間サイズ依存性を精密に調べる手法となっており、同様の方法論によって例えばランダム幾何学モデル（ユークリッド空間内のランダム点過程から作られる幾何モデル）への拡張なども可能にする重要な結果だと考えている。また大数の法則と大偏差原理を同様の設定で議論できるように問題を整理したことも、極限定理を包括的に取り扱う際のボトルネックを浮き彫りにさせることに繋がり、その意味において重要な一歩であると考えている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
コロナ禍によって一部議論が停滞していた時期もあったが、2021年度繰越分の研究課題については今年度は十分な研究活動が実施できた。研究分担者との議論や外部研究者との議論も計画通り実施でき、該当するテーマであるパーシステントホモロジーのランダムトポロジー的側面の理解をさらに深めることができた。研究実績の概要で記載した内容については概ね計画通り進んでおり、最終年度に向けた準備をしっかり整わすことができた。一方でマルチパラメータパーシステントホモロジーに現れる非区間表現の確率論的頻度に関する議論は、これまでの研究活動で徐々に準備は進んでいるものの、さらなるアイディアが必要になるものと思われる。こちらについては最終年度に研究分担者との議論や外部研究者の招聘などを通じて、加速させていく予定である。まずは可換梯子型パーシステントホモロジーといった研究対象を足がかりにし、さらには有限型の場合に議論を限定させることで、非区間表現の出現がレアイベントになるという仮説を数学的に証明することに取り組む予定である。
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| Strategy for Future Research Activity |
コロナ禍によって一部議論が停滞していた時期もあったが、2021年度繰越分の研究課題については今年度は十分な研究活動が実施できた。研究分担者との議論や外部研究者との議論も計画通り実施でき、該当するテーマであるパーシステントホモロジーのランダムトポロジー的側面の理解をさらに深めることができた。研究実績の概要で記載した内容については概ね計画通り進んでおり、最終年度に向けた準備をしっかり整わすことができた。一方でマルチパラメータパーシステントホモロジーに現れる非区間表現の確率論的頻度に関する議論は、これまでの研究活動で徐々に準備は進んでいるものの、さらなるアイディアが必要になるものと思われる。こちらについては最終年度に研究分担者との議論や外部研究者の招聘などを通じて、加速させていく予定である。まずは可換梯子型パーシステントホモロジーといった研究対象を足がかりにし、さらには有限型の場合に議論を限定させることで、非区間表現の出現がレアイベントになるという仮説を数学的に証明することに取り組む予定である。またこれら確率論的な結果をシューベルト分解やシューベルトカリキュラスの側面から掘り下げていくことも重要な方向性として残っており、最終年度に取り組む計画にしている。
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