2023 Fiscal Year Annual Research Report
Randomization of persistent homology and its interaction with Schubert calculus
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20H00119
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
平岡 裕章 京都大学, 高等研究院, 教授 (10432709)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
池田 岳 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (40309539)
赤木 和人 東北大学, 材料科学高等研究所, 准教授 (50313119)
白井 朋之 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (70302932)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | マルチパラメータ・パーシステントホモロジー / 非区間表現 / シューベルト計算 / ランダムトポロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
最終年度ではマルチパラメータ・パーシステントホモロジーの確率論的構造定理の構築に本格的に取り組んだ。まず昨年度までに開発を進めてきた「コース」と「ツアー」の概念を用いた新たな区間近似理論を計算機に実装し、大規模な数値計算ができる環境を整備することに成功した。我々が開発した区間近似アルゴリズムは表現を経由せずに点過程などから定まる幾何学的なモデルから直接計算できる利点を有する。これによって比較的大規模な点過程データに対しても統計的特徴が確認ができるレベルの大規模数値計算が実施できた。数値計算の結果としては、当初の想定通り、非区間表現の出現頻度は区間表現よりも圧倒的に少なくなる現象が観測された。また今回の大規模数値計算によりサンプル期待値の統計的な近似値も得られた。
上記の大規模数値実験ののちに、積分幾何のアイディアを用いた非区間表現の重複度に対する期待値の評価解析を行った。その際重要になってくる現象は、サイクルスプリットと呼ばれるより大きなサイクルが小さな２つのサイクルに分裂する事象である。これにより可換はしご型クイバーのある頂点上で2次元のベクトル空間が直既約表現に出現できることになる。このサイクルスプリットをCech複体を用いた点群モデルによる幾何学的実現で構成し、その出現期待値を実現可能な配位空間で積分することに取り組んだ。Subcritical regime点過程に現れるような「minimal model」の概念が存在するかどうかを調べたが、現時点では理論的には解明できていない。最小のminimal modelは4点から非区間表現が構成されることがわかるが、数値計算からの考察ではそれらが分布として最も大きい値をとるとは限らないようである。現状では4点からなるモデルに対して、非区間表現の重複度に対する期待値の評価を与えるところまで完成した。
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| Research Progress Status |
令和5年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和5年度が最終年度であるため、記入しない。
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