2020 Fiscal Year Annual Research Report
Study on p-adic Galois representations and p-adic etale local systems over a p-adic field
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20H01793
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
辻 雄 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (40252530)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | p進Simpson対応 / Lubin-Tate岩澤理論 / 整p進Hodge理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
整局所p進Simpson対応ではsmall整一般化表現とsmall 整Higgs束が対応する．Morrow氏との整p進Hodge理論の係数理論の研究により，前者のガロア・コホモロジーにBhatt-Morrow-Scholzeの整p進Hodge理論で導入された「ずらし操作」を施すと，整構造を保つ自然なコホモロジー比較同型があることが証明されていた．この同型の大域化は一般には存在せず，その障害の解明が課題となっていた．素数pにくらべ小さい次数をもつコホモロジーについては，Higgs場のある種のp進収束性の仮定のもと，大域的な比較同型が成り立つことを証明した．L. Berger氏とのLubin-Tate (φ,Γ)加群の共同研究において，Hodge filtrationの長さがpより小さいF解析的crystalline表現の多変数明示的相互律の形式群の局所モジュライ空間を用いた定式化（予想）が得られていた．この定式化で用いた岩澤加群の(φ,Γ)加群による記述（Schneider-Venjakob）が，ある種の双対を用いる間接的な方法で得られている点が，予想の証明の障害となっていた．この記述の直接的別構成を得た．BMSによる整p進Hodge理論の係数理論へのアプローチは，Morrow氏との共同研究で表現論的な視点から導入した相対BKF加群とBhatt-Scholzeが導入したprismatic cohomologyの自然な係数prismatic crystalがある．Frobenius構造付きでは，両者が大域的にも圏同値であることを2021年度に改定した共著論文で証明した．同改訂版では，局所的には，相対BKF加群に伴う幾何的基本群の表現はすべて「幾何的crystalline」（Acrys上のfiltration付きF-crystal に忠実充満に対応する表現）であることも示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
整p進Simpson対応のBMSの整p進Hodge理論の視点からの研究．Morrow氏との共同研究より，局所的には，Faltingsの整p進Simpson対応よりも条件を緩めて一般化表現がHiggs束に降下することが明らかになっていた．本研究の過程でが，それがBhatt-ScholzeのHodge-Tate prismatic crystalとpro-etale site上のベクトル束の対応として大域的に意味づけできた点は収穫であった．また整Higgs加群のコホモロジーがBMSの整p進Hodge理論でどのように大域的に解釈されうるかについては，定数係数の場合は次数がpより小さい場合に比較が知られていたが，係数付きでも次数とHiggs場の収束性の条件付きで解釈可能であることが示せたことは大きな進展であった．Lubin-Tate多変数岩澤理論の研究：Schneider-VenjakobのLubin-Tate岩澤加群の(φ，Γ)加群を用いた記述の構成が間接的であることは，多変数Lubin-Tate岩澤理論の研究を進める上で大きな障害となっていた．直接構成を与えたことは今後の研究の足がかりとなりうる成果であった． 整p進Hodge理論の研究：相対BKF加群とprismatic crystalの大域的な圏同値の証明により，Morrow氏と構築した整p進Hodge理論の係数（相対BKF加群）の基本性質の解明が完了した．
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| Strategy for Future Research Activity |
整p進Simpson対応のBMSの整p進Hodge理論の視点からの研究について．コホモロジーの比較は複雑な大域的高次ホモトピーを具体的に構成することによってなされている．prism理論におけるHodge-TateコホモロジーのHiggs束のDolbeault複体を用いた局所的記述(Y.Tianによる)のFrobenius持ち上げ（δ構造）への依存について解明することにより，この比較が成り立つ背景を明らかにするのが今後の課題である．Lubin-Tate多変数岩澤理論の研究については，Lubin-Tate岩澤加群の記述の新しい直接構成を用いて多変数相互律の研究を進める．
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Research Products
(2 results)
