無限次元解析の諸問題と確率解析の研究

2021 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 20H01804
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 会田 茂樹 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90222455)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: ラフパス / 確率微分方程式 / 近似誤差 / マリアバン解析 / 多次元ヤング積分

Outline of Annual Research Achievements

(1) ラフパスで駆動される微分方程式(RDE)の場合も確率微分方程式の場合と同様に時間区間を短時間で区切って近似解を構成する方法がある.オイラー近似, ミルシュタイン近似, クランク・ニコルソン近似などである.これらの近似解と解との差(誤差)の分布の漸近挙動を決定するための研究を行った. 特に(実装可能な)ミルシュタイン近似解とクランクニコルソン近似解を主に考えた.基本的な考え方として, 解の従う方程式と近似解の従う方程式を一つのパラメータで補間する方程式の族を導入し,その補間方程式の解(補間近似過程)およびその解のパラメータに関する微分過程が近似解や解と同様によい性質を持つ(離散的な意味で考える必要があるがいわゆる被制御パスの性質を持つと言うこと)ことをこれまで示して来た.さらに, 小さなオーダーの離散過程の概念を導入し, 補間近似過程の関数と真の解過程の関数の差を小さなオーダーの離散過程とRDEの解の積の和で近似的に展開する式を与えた.
(2)今年度は, 補間近似過程の関数と真の解過程の関数の差の小さなオーダーの離散過程を用いた近似展開式がよい可積分性を持つ空間で成立することを示した.また, 誤差過程の極限の同定に必要な,重みつきエルミート過程のモーメント評価をマリアバンの部分積分の公式と多次元ヤング積分の評価を用いて与えた.
現在は, これらの結果とすでに得ていた評価を組み合わせて,誤差過程の極限を与える論文をまとめているところである.

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

近似方程式と元の方程式を補間する方程式の族を用いて近似誤差の研究を行うというアイデア自身は数年前に得られたものであり, ここ数年継続して研究して来たものである. また,1次元の場合には, 重み付きエルミート過程のモーメント評価がマリアバンの意味での部分積分公式を用いて評価を得られるということは, すでに得ていたが, 多次元の場合は, 研究が進んでいなかった.今年度は, 多次元ヤング積分の評価も組み合わせて多次元の場合の重み付きエルミート過程のモーメント評価を得たことにより, 当初計画していた証明を行うことが可能になったため.

Strategy for Future Research Activity

引き続き近似誤差の研究を進める. これまでは, 非整数ブラウン運動のハースト指数Hが1/3より大きな場合を考えて来たが, 1/4より大きな場合についても考えたい.この場合は, 3次の重複積分も現れるが, 小さなオーダーの離散過程や多次元ヤング積分を用いた証明がこの場合にも通用するか確認したい.