2021 Fiscal Year Annual Research Report
Evolution equations describing non-standard irreversible processes --Analysis on singularities emerging in the dynamics of solutions--
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20H01812
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
赤木 剛朗 東北大学, 理学研究科, 教授 (60360202)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
木村 正人 金沢大学, 数物科学系, 教授 (70263358)
梶木屋 龍治 佐賀大学, 理工学部, 教授 (10183261)
上田 好寛 神戸大学, 海事科学研究科, 准教授 (50534856)
藤江 健太郎 東北大学, 数理科学連携研究センター, 准教授 (50805398)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 発展方程式 / 非線形・非局所 / 不可逆過程 / 破壊・損傷力学モデル / 距離空間上の勾配系の摂動理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2021年度の研究実績について説明する。（番号は交付申請書の研究の目的に対応する。）
1.破壊力学等に現れる強い不可逆性を有する散逸系の研究 強い不可逆性を拘束条件に持つAllen-Cahn方程式の進行波解とその安定性解析については課題が全面的に解決した。同方程式が障害物問題として書き換えられることに着目し、障害物問題に対してバリア函数を構成することで指数安定性が証明できることを発見した。ただし古典的なAllen-Cahn方程式に対するX. Chenらの手法は大幅に改造する必要があった。本研究では解の挙動を幾つかの段階に分解し、勾配流構造に着目した解析によって解が進行波に漸近することを示し、その上でバリア函数を構成して囲い込みによる指数収束の証明を行った。その他、完全破壊モデルについても結果が出た。
2.非整数階微分作用素を含む発展方程式の研究 Israel J. Math. 誌から発表した非整数階微分を伴う勾配流理論の応用について検討を進め、非整数階微分を伴うAllen-Cahn方程式の適切性とその解の漸近挙動の解析について予備的な研究を行った。特に勾配不等式を用いた解軌道の収束性の証明法について検討を行った。
3.距離空間上の勾配流に対する摂動理論とその応用 前年度に引き続き変動指数を含む2種類の二重非線形発展方程式に関する研究を行った。非線形拡散方程式に関しては時間局所解の存在を証明することに成功した。
4.非線形拡散方程式に対する解挙動の定量解析 前年度に引き続きフィンスラー・ラプラシアンを含む非線形拡散方程式に対する空間遠方で増大する初期値に対する解の存在定理の証明に取り組んだ。また当初の計画にはなかったがBonforte-FigalliらによるFast Diffusion方程式の解の漸近形への収束性に関する結果を勾配流理論の観点からやり直し、別証明を得ることに成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
研究分担者や協力者の助力によって当初の研究計画で挙げていた問題に関しては解決の緒が見つかり、今後の作業工程がかなり明確になった。そのような観点から当初の計画以上に進展していると言える。また研究計画にはなかった幾つかの派生研究も立ち上がり、次の研究計画の策定に向けた準備が進んだ。これらの新規研究は現時点では論文にまとめず、引き続き継続しながらその意義や価値を慎重に吟味する。
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| Strategy for Future Research Activity |
1に関して：強い不可逆性を伴うAllen-Cahn方程式に対する進行波解に関する研究課題は完了している。中村 健一 氏（金沢大）、Christian Kuehn 氏（ミュンヘン工科大）との共著論文が発表された。また完全破壊モデル（フルモデル）の時間局所適切性の証明も成功し、Giulio Schimperna 氏（パヴィア大）との共著論文が発表された。派生研究として開始した破壊力学に特有の構造を伴う新しい発展方程式の研究をさらに進める。特に適切性の証明に加えて、強い不可逆性、エネルギー汎関数の片側最小性による準静的発展過程、エネルギー保存則の証明、さらに解の長時間挙動の分析を進める。この課題は佐藤光汰朗氏（東北大）との共同研究として進める。
2に関して：凸型エネルギーに対する勾配流理論の応用についてさらに検討を進める。またLojasiewicz-Simon不等式の応用について検討する。他の科研費研究課題との連携による相乗効果も考慮しながら進める。
3に関して：非線形拡散方程式に関しては当初計画していた通り時間局所解の存在が証明されているが、変動指数の構造を詳細に分析することで時間大域解の存在が証明できないか検討を行う。実際、解は時間とともに増大するものの、時間大域的に存在しうることが変数分離解の解析結果から分かっている。
4に関して：Fast Diffusion 方程式の漸近形への収束レートに関する派生研究は本研究課題の観点以外からも検討の必要性があり、他の科研費研究課題とも連携しながら進めていく。特に海外の研究協力者との連絡を密にとることで発展著しい当該分野の変化に十分対応できるようにしたい。さらに国内の関連分野の研究者とも情報交換を進め、より多面的な観点から研究を進める。この課題は当初予定にはなかったものだが、本研究課題で得られた知見が重要な役割を果たしている。
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