2020 Fiscal Year Annual Research Report
Mathematical analysis of pattern dynamics of reaction-diffusion systems and their singular limit problems
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20H01816
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
二宮 広和 明治大学, 総合数理学部, 専任教授 (90251610)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
飯田 雅人 宮崎大学, 工学部, 教授 (00242264)
谷口 雅治 岡山大学, 異分野基礎科学研究所, 教授 (30260623)
三竹 大寿 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (90631979)
物部 治徳 岡山大学, 異分野基礎科学研究所, 特任准教授 (20635809)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | パターンダイナミクス / 反応拡散系 / 特異極限系 / 進行波解 / 自由境界問題 / 伝播現象 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非線形放物型偏微分方程式の解のダイナミクスを決定することは，非線形放物型偏微分方程式の理論的研究における重要な問題のひとつである．しかし，比較的簡単と考えられる反応拡散系でさえ，解のダイナミクスを決定できていないのが現状である．本研究課題では，反応拡散系の解のダイナミクスを決定するための解析手法の開発と普遍的な数理構造の抽出を行うことを目的としている．反応拡散系の解の普遍的数理構造を抽出するにあたっては，未知変数の数，反応項（非線形項），空間の次元，領域が主要なパラメータとなる．解のダイナミクスを決定するアトラクターを調べることは，その要素である全域解の特徴付けることに対応しているので，前述の主要なパラメータを変えることで，次の３つのテーマを扱う．
（１）単独反応拡散系の全域解の特徴付け
（２）特異極限系の適切性・収束性・全域解の特徴付け
（３）複雑領域におけるパターンダイナミクスの数理解析
（１）では，多次元双安定単独反応拡散系の進行波解の解析を行った．また，全域解と進行波解の関係を調べた．（２）では，反応拡散系の特異極限系である反応界面系の解の挙動に関する研究を行い，1次元の場合にその挙動を分類することに成功した．また，Hamilton-Jacobi方程式の全域解の特徴付けについて研究を進めた．また，反応拡散系から非線形波動方程式を導出する手法の開発を行った．（３）の準備として，多次元界面方程式を扱うために，多層界面方程式を考察する手法を開発し論文に発表した．
また，明治非線型数理セミナーおよび明治非線型数理セミナー・秋の学校（2020年 11月22日(日) ～ 11月24日(火)）を開催し，情報収集とともに研究成果の公表していった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
新型コロナの感染拡大のため，海外の研究集会への参加や招聘，共同研究に遅れが生じ，2021年度に繰り越す必要が生じたが，以下に記載したような研究成果を得ることができ，概ね順調に進展した．
（１）では，多次元双安定単独反応拡散系の進行波解の解析を行い，論文を発表した．凝結・分裂モデルに現れるHamilton-Jacobi方程式の解の長時間挙動について，幾つかの結果を得ることができた．
（２）では，反応拡散系の特異極限系である反応界面系の解の挙動に関する研究を行い，1次元の場合にその挙動を分類することに成功した．また，Hamilton-Jacobi方程式の全域解の特徴付けについて研究を進めた．また，反応拡散系から非線形波動方程式を導出する手法の開発を行った．外力付グラフ型平均曲率流方程式の一般化コーシー・ディリクレ問題の解の長時間挙動について，幾つかの結果を得ることができた．
（３）の準備として，多次元界面方程式を扱うために，多層界面方程式を考察する手法を開発し論文に発表した．また，結晶成長や多種の個体群の生息域の広がりなどに関連する界面方程式や、自由境界問題の可解性やダイナミクスに関する研究を行なった．
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| Strategy for Future Research Activity |
（１）では，単独反応拡散系の全域解の特徴付けを行うため，符号変化する全域解の特徴付けの方法について考察していく．そのため，熱方程式の符号変化する非有界な全域解について研究を，例の構成からはじめていく．その発展として，時空間に依存する係数をもつ熱方程式の全域解についても調べていく．多次元双安定単独反応拡散系のいくつかの進行波解の解析を行ったので，全域解との関係をさらに調べていく．（２）では，まず，反応拡散系の特異極限系である反応界面系の解の挙動に関する研究を行い，1次元の場合にその挙動を分類したので，その結果を論文にまとめていく．さらに，全域解の挙動についても調べていく．また，空間２次元の場合の反応界面系の適切性の考察を行う．そのため，2次元の反応界面系の数値計算を行う．また，Hamilton-Jacobi方程式の全域解の特徴付けについて研究をさらに進めて，論文にまとめていく．また，反応界面系の回転スパイラル解の厳密な構成を行う．（３）については，外部領域の形状がパターンダイナミクスに与える影響を調べる．領域は障害物のある外部領域の場合を考え，その伝播現象を全域解によって特徴付ける．障害物がxy方向に周期的な場合の全域解の存在証明を行い，障害物が周期的にある状況下での伝播現象を数値計算も援用しながら調べていく．領域が空間非一様な場合も考察し，空間非一様性が細胞運動に与える影響なども併せて調べていく．
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