2020 Fiscal Year Annual Research Report
物理と数学の協働によるNavier-Stokes乱流のエネルギーカスケードの解明
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20H01819
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| Research Institution | Hitotsubashi University |
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Principal Investigator |
米田 剛 一橋大学, 大学院経済学研究科, 教授 (30619086)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
後藤 晋 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (40321616)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 乱流 / エネルギーカスケード / Navier-Stokes方程式 / 渦伸長 / -5/3乗則 / regularity criterion |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1941年にコルモゴロフは、相似仮説と次元解析から、乱流研究で最も重要な法則の一つである-5/3乗則を導いた。そのことを踏まえたうえで、本研究においては、Navier-Stokes方程式の大規模数値計算結果の直視から自然と抽出される「渦伸長・渦圧縮構造」を新たなる仮説と設定することで、コルモゴロフの-5/3乗則が再定式化されることを示した。特にエネルギーカスケードが渦伸長・渦圧縮によって引き起こされていることを大規模数値計算によって確認した。これはMcKeown, Ostilla-Monico, Pumir,Brenner and Rubinstein(2020)の渦輪衝突に基づく乱流実験や乱流数値計算結果とも整合性が取れている。
また、その再定式化の際に使っている渦分布の自己相似性が成り立つことも大規模数値計算で確かめた。具体的には、Littlewood-Paley分解（band-pass filter）と低圧力法を駆使して各長さスケールの渦を抽出し、それぞれのスケールにおける渦軸の総長がきちんとべき則に乗っていること、散逸スケールの渦軸の総長に関しては、急激に短くなっていっていることを確かめた。また、band-pass filterを介したときに得られる各長さスケールの渦とband-pass filterを介さない場合の生の渦の比較を行った。より具体的には、フーリエ変換の不確定性原理によって、空間・スケール両方においてlocalな渦は存在し得ないことが分かっている。そのことを踏まえた上で、このband-pass filterがどのくらい生の渦の情報からかけ離れてしまっているのか、と言う点を「ある特徴的な反平行渦管」を使って検証した。L^2ノルムの2乗の誤差と生の渦との比が大体0.2の範囲で収まっていることを確認した。また、遠散逸領域における「エネルギーの受け渡し構造」を数学的に仮定すると、３次元非圧縮Navier-Stokes方程式の解が滑らかになる、ということを数学的に証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
エネルギーカスケードが渦伸長・渦圧縮構造によって引き起こされていること、更に、各スケールの渦軸の総長という概念によって、自己相似性を確認することが出来た。これらによって、我々が提案しているエネルギーカスケードモデルが物理的に至極妥当であることが示唆された。これは、当初想定していた研究スピードよりも明らかに早い。これを土台とすることによって、より深い乱流洞察へと突き進むことが可能となった。
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| Strategy for Future Research Activity |
このエネルギーカスケードのメカニズムをより深く解析する。より詳しく渦軸の総長をみると、それがマルチフラクタル的にふるまうことが分かっているので、その解析を進める。スケール間の渦伸長・渦圧縮によりエネルギーの受け渡しが具体的にどのように行わているのかをより詳しく調べる。
より具体的には、渦伸長・渦圧縮をとらえるためにはLagrange座標が必要不可欠で、Euler座標だけの統計量では不完全であること、また、渦伸長が空間・スケール局所的な現象であることをなどを示す。そのためには、微分幾何学的手法によって、一般的には非局所的な性質を持つとされる圧力が、実は極めて局所的なメカニズムを有することを示す。
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Research Products
(2 results)
