2020 Fiscal Year Annual Research Report
Study of localization and topology through quantum metric and quantum geometric tensor
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20H01845
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
小澤 知己 東北大学, 材料科学高等研究所, 准教授 (80825993)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 量子計量 / トポロジー / チャーン絶縁体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
量子計量とトポロジーの関係という観点からは、量子計量を使って測った運動量空間の体積とトポロジカルなチャーン数との不等式の関係を導き、この不等式が等式となる条件がBloch波動関数が正則関数になるという条件と同値であることを導いた。具体的な模型を通じてこの関係を確かめ、２バンド系では等式が厳密に成り立つことが多いこと、また、多バンド系では模型がランダウ準位に近づくに従い等式に近づいていくということも確認した。この方法を用いれば量子計量というリーマン幾何学的な情報をもとにチャーン数というトポロジカルな性質に関しての情報を得ることができる。
また、この関係を用いて量子計量とトポロジーの間に等式が成り立つようなチャーン絶縁体で、かつ、量子計量やベリー曲率が運動量空間上で一様になるような模型を運動量空間（トーラス）上の正則関数（テータ関数）を用いて具体的に漸近的に構成する方法も提示できた。この構成法で得られる模型は量子計量・ベリー曲率が一様に近いが完全に一様ではない。実は完全に一様になる模型は有限バンドの模型では構成不可能であり、そのことを証明することもできた。
少なくとも一粒子系に関しては量子計量とトポロジーの関係はこれらの研究によりかなり明らかになったと言って良い。多粒子系への拡張の第一歩として自由電子系での多体の量子計量とチャーン数の間の不等式も導いている。多体の量子計量はひねり境界条件の空間で定義されており、相互作用系への自然な拡張も期待できる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
量子計量とトポロジーの関係を調べるというのは本研究課題の一つのメインテーマであったが、少なくとも一体問題に関する限りかなり明らかにすることができたのではないかと思う。多体問題への拡張のヒントとなるような自由電子の多体系での結果も得られた。
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| Strategy for Future Research Activity |
一体問題として量子計量とトポロジーの関係はかなり明らかになったので、今後はこれを多体系や非エルミート系において有効に応用・活用するにはどうすれば良いのかを考えることを当面の方針とする。
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