2020 Fiscal Year Annual Research Report
疎行列を係数とする線形方程式の反復解法と精度保証付き数値計算法の融合
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20H04195
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| Research Institution | Shibaura Institute of Technology |
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Principal Investigator |
尾崎 克久 芝浦工業大学, システム理工学部, 教授 (90434282)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
荻田 武史 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (00339615)
相原 研輔 東京都市大学, 情報工学部, 准教授 (70735498)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 精度保証付き数値計算 / 連立一次方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
疎行列を係数とする連立一次方程式の精度保証付き数値計算を行うことを目標としている．このためには，係数行列の逆行列の最大値ノルムの上限値が必要であり，これがあれば精度保証は行列サイズの2乗の計算コストで実行可能となる．反復解法に用いる疎行列のデータセットして高名なSuiteSparse Matrix Collectionにある1000以上の行列に対して，逆行列の最大値ノルムの上限を求めることができ，データをweb上に公開した（https://www.mathsci.shibaura-it.ac.jp/ozaki/smc_norminf.html）．これは研究期間全体の目標である行列数の半数を取り扱えたことになる．Rumpによるノルムの精度保証法に加えて高精度計算を適用することにより，ノルムの上限の過大評価を抑えることができ，中には正確な逆行列のノルムや，浮動小数点数として最良な結果を得ることもできた行列もある．これらのデータを活用し，疎行列の精度保証付き数値計算が効率よく実行できること，また残差反復を用いた精度保証付き数値計算は誤差の過大評価を極めて抑え，真の解を包含できることを学会で報告した．特に，近似計算を行う計算時間よりも過大評価のない誤差上限を得るための計算時間が短い例も紹介することができた．また，反復解法における収束性には，行列の固有値が重要であることも知られている．真の固有値を事前に設定することで，反復解法の収束履歴の挙動が正確に把握でき，理論と実践のギャップを調べることができる．よって真の固有値が事前にわかる行列の生成法を開発した．特に，反復解法の解析において重要な複素固有値を持つ実疎行列について，生成法を新しく提案でき，成果を論文として投稿した．以上より，研究初年度は順調に研究を進めることができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
連立一次方程式の反復解法を数値シミュレーションにおいて非常に重要な問題である．その計算に対して精度保証付き数値計算を展開すること，さらにここで得られた知見を活かして反復解法自体の発展にも貢献することを研究目的としている．研究初年度として，反復解法の実験によく使用される有名なサイトであるSuiteSparse Matrix Collectionにある行列に対して，連立一次方程式の精度保証付き数値計算が行えるように，逆行列の最大値ノルムの上限を求める作業に着手した．このデータがあれば，精度保証付き数値計算が行列サイズの2乗に比例する計算量のみで行えるために重要な研究である． Rumpによる逆行列のノルムの精度保証法を学び，また高精度な計算結果の包含法を組みあわせることで，より過大評価のない逆行列の最大値ノルムの上限を求めることが可能となった．実際にMATLABコードを作成し，本年度はSuiteSparse Matrix Collectionにある1000を超える行列を取り扱った．これは全期間での目標の半分に該当する．計算結果について，最適な上限値，厳密なノルムなど，極めて高精度に計算できた場合は特記し，計算結果のデータをweb上に公開した（https://www.mathsci.shibaura-it.ac.jp/ozaki/smc_norminf.html）．これらのデータを活用し，疎行列の精度保証付き数値計算が効率よく実行できること，また残差反復を用いることで過大評価なく真の解を包含できることを示すことができ，学会発表を行った．また，反復解法の収束性に影響を与える行列の特性として固有値が挙げられるが，真の固有値が事前にわかる疎行列の生成法を開発することができた．このテスト行列に関連する成果を論文としてまとめて投稿をした．
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| Strategy for Future Research Activity |
次年度も逆行列の最大値ノルムの上限の計算を継続し，より大規模な問題に対して計算可能になるように議論を進める．具体的には100万元程度の問題の計算が可能になることを目標とする．大規模問題を扱う際には，たとえ係数行列の疎性が高いとして，逆行列は密行列になることが多いため，計算上使用するメモリの節約が計算において重要になる．ブロック計算を用いて，全体ではなく部分的にノルムの上限を求めるための計算を行い，段階的に計算を進めるようにコードを生成する．その際，計算効率をなるべく下げないブロック計算を議論することで，より大規模な行列計算に挑む．ここで得られた計算成果は引き続きweb上での公開を予定している．また，精度保証付き数値計算の考え方を利用し，連立一次方程式の反復解法の研究に重点を置く．真の解がわかる問題セットを元の行列の構造をなるべく保ったまま作成する手法の開発に挑む．真の解が事前にわかる問題を設定できれば，真の相対誤差の反復毎の履歴を正確に把握することが可能である．その反復毎の収束履歴は動画・アニメーションにて与え，深く考察することが可能であると思われる．従来の収束判定に用いる相対残差の議論に加え，相対誤差の観点で反復解法を概観し，精度に関する問題点の発見とその克服に努める．研究対象としては実対称正定値行列に対する共役勾配法（conjugate gradient method）を扱う．また，共役勾配法に対する高精度計算の有効性を確認するために，疎行列・ベクトル積の高精度計算ルーチンの開発にも着手する．4倍精度疑似演算程度の精度のルーチンが高速に実行可能になればよいと考えている．
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| Remarks |
計算データの公開
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