2021 Fiscal Year Annual Research Report
多元環の導来圏と安定性条件による実Grothendieck群の部屋構造
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20J00088
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
淺井 聡太 大阪大学, 情報科学研究科, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2020-04-24 – 2023-03-31
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| Keywords | Grothendieck群 / 2項準傾複体 / 非rigid領域 / 数値的ねじれ対 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有限次元多元環の実Grothendieck群の中で、2項前準傾複体Uのgベクトルが定める錐C^+(U)たちで覆われない部分を、非rigid領域という。今年度は、非rigid領域をうまく分割することで、2項前準傾複体と純非rigid領域の情報を組み合わせて、非rigid領域を表せることを証明した。具体的には、Baumann-Kamnitzer-Tingleyの数値的ねじれ対を用いて、各2項前準傾複体Uの錐に開近傍N_Uを定め、これをもとに実Grothendieck群を2項前準傾複体Uで添え字づけられた部分集合R_Uたちに分割する。特に、零複体に対応する部分集合R_0を純非rigid領域と呼ぶ。このとき、非rigid領域とR_Uの共通部分は、錐C^+(U)と開近傍N_Uの閉包と純非rigid領域を用いて表示できることを、私は伊山修氏との共著プレプリントで示した。
そして、特殊双列多元環の場合は、純非rigid領域の記述は比較的簡単にできるため、それを生かして非rigid領域を調べるということを、私は単著プレプリントで始めている。現時点での結果として、連結な特殊双列多元環の2項準傾複体の変異箙の連結成分が2個以下であることを示すことができた。
また、拡大Dynkin型の前射影的多元環については、Coxeter群の組合せ論と特殊双列多元環の議論を用いることで、\tilde{A}型の場合については、実Grothendieck群におけるTF同値類と、通常のGrothendieck群におけるDerksen-Feiの意味での直既約な元について、十分な情報を得られた。こちらも伊山修氏との共著プレプリントに記した。
一方、ほかの型については、まだ議論が進められていない。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
非rigid領域の分割については概ね納得のいく進行が得られたが、拡大Dynkin型の前射影的多元環については\tilde{A}型以外は議論できていないため。\tilde{A}型での議論は特殊双列多元環に帰着しており、そのまま他の型に拡張することはできない。
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| Strategy for Future Research Activity |
$\tilde{A}$型の前射影的多元環の場合に得られた結果から、$\tilde{A}$型以外の拡大Dynkin型の前射影的多元環について、純非rigid領域がどのようにTF同値類に分けられるかという問いについて、予想を立てること自体は容易である。この予想が正しいことを証明していくことを今後の目標とする。純非rigid領域に属するGrothendieck群の直既約な元たちのうち、どれとどれが直和可能かということを調べることで、問題の解決が見込まれるため、この方針で研究を続ける。
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