2021 Fiscal Year Annual Research Report
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20J00101
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
田内 大渡 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2020-04-24 – 2023-03-31
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| Keywords | 実球多様体 / 無限次元表現 / 分岐則 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
実簡約代数群Gとその閉代数部分群H、Gの放物型部分群Qに対して次の三条件を考える。
(i_Q)旗多様体G/Q上の関数空間の部分商として実現できる既約表現を、等質多様体G/H上の関数空間が有限重複度でしか含まない。
(ii_Q)G/H上に開Q軌道が存在する。
(iii_Q)G/H上のQ軌道が有限個しか存在しない。
QがGの極小放物型部分群Pのときにはこれら三条件が同値であることが知られている。一般の放物型部分群に対しては(i_Q)と(ii_Q)の関係性が簡単な考察からわかる。また昨年度までの研究により(iii_Q)から(i_Q)は従わない、特にHが可解群となるような反例が存在すること、また(i_Q)から(iii_Q)は向き付けに関する仮定の元で従うことが分かっている。昨年度までの結果により、一般旗多様体G/Q上に向き付け可能なH軌道が無限個存在すれば、その軌道上での微分形式の積分を考えることにより、G/Q上の退化主系列表現からG/H上の関数空間へのG絡作用素が無限次元分構成できることが分かっている。
本年度は昨年度に引き続き上記主張の向き付けに関する仮定を外すための研究を行った。これに関しては、現行の証明では上記のように積分を考えているため向き付けの仮定を本質的に用いていること、また多くの例では、もし考えている軌道が向き付け不可能であっても、退化主系列表現の方を適切なQの指標でひねることで、その軌道上での積分を定義できてしまい、本質的な反例になっていなことが問題点となっていた。今年度はこれに関し、どのようなQの指標で捻っても、その軌道上での微分形式の積分を定義できないような(G,H,Q)の組みが存在することを発見した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
実簡約代数群Gとその閉代数部分群H、Gの放物型部分群Qに対して次の二条件を考える。
(i_Q)旗多様体G/Q上の関数空間の部分商として実現できる既約表現を、等質多様体G/H上の関数空間が有限重複度でしか含まない。
(iii_Q)G/H上のQ軌道が有限個しか存在しない。
この二条件の関係性について、向き付けによる仮定のない場合に決定する計画であったが、それを決定できていないので、遅れていると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
当該年度の研究により、一つの軌道を固定してその上の積分を考えているだけでは、問題を解決できない可能性が示唆されている。よって軌道が無限個あるときに、複数の軌道の相互の関係も考察対象としながら、研究を進めていきたいと思っている。
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