2021 Fiscal Year Annual Research Report
Combinatorial descriptions of crystal bases and applications to the cluster theory
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20J00186
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
金久保 有輝 筑波大学, 数理物質系, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2020-04-24 – 2023-03-31
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| Keywords | アファイン量子群 / 多面体表示 / decoration |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、いくつかの古典的アファイン型リー環に対するVerma加群の結晶基底の多面体表示を研究した。多面体表示を定義する不等式を、extended Young diagramやYoung wallといった、既存の概念を使って組み合わせ論的に記述した。中島-Zelevinskyのアルゴリズムを利用して、不等式を計算し、それと組み合わせ論的対象を比較することで、証明を行った。得られた結果を論文にまとめ、 論文誌であるAlgebras and Representation Theoryに投稿し、掲載が決定した。また、研究集会「組合せ論的表現論および関連分野との連携」で、本研究成果を発表した。
既約加群の結晶基底については、リー環がいくつかの古典的アファイン型である場合を考え、多面体表示を定義する不等式の組み合わせ論的記述を研究した。その結果、Verma加群の多面体表示と同様に、extended Young diagramやYoung wallといった、既存の組み合わせ論的対象を用いて記述できるのではないか、という予想を立てることができた。
リー群上のdecorationについては、Koshevoy氏、中島氏とオンラインでの共同研究を行った。去年度に構築したA型リー群上のdecorationを求めるアルゴリズムを一般化し、他のリー群上のdecorationの部分和も計算することができるアルゴリズムを完成させた。証明には、リー環の表現論を利用した。得られた結果を論文にまとめ、論文誌であるJournal of Algebraに投稿し、2022年10月に出版された。また、研究集会「Algebraic Lie Theory and Representation Theory」で、本研究成果を発表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は、(1)いくつかの古典的アファイン型リー環に対するVerma加群の結晶基底の多面体表示を既存の組み合わせ論的対象で記述すること、(2)いくつかの古典的アファイン型リー環に対する既約加群の結晶基底の多面体表示を既存の組み合わせ論的対象で記述すること、(3)A型リー群上のdecorationや、A型以外のリー群上のdecorationの部分和を求めるアルゴリズムを完成させることを研究課題としていた。
(1)の課題については達成することができ、結果をまとめた論文が、論文誌に掲載されることが決定している。(2)の課題については、結晶基底の多面体表示の組み合わせ論的記述に関する予想を立てることができた。また、既約加群を一般化したextremal weight加群の多面体表示の特徴付けという新たな研究の方向性を発見することができた。(3)の課題については達成することができ、結果をまとめた論文が、論文誌に掲載された。定理の証明を一般化することで、より多くのリー群上のdecorationを求めるアルゴリズムの構築ができるのではないか、という一般化に関する重要なヒントを得ることができた。
このような状況であることから、本年度の自己評価を「おおむね順調に進展している。」とした。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまで扱った以外の古典的アファイン型のリー環に対するVerma加群の結晶基底の多面体表示について、その組み合わせ論的対象による記述を研究する。Higher level Young wallという既存の組み合わせ論的対象を使って、多面体表示を定める不等式を記述したい。また、これまでの研究で、いくつかの古典的アファイン型のリー環に対する既約加群の結晶基底の多面体表示の組み合わせ論的記述に関する予想を立てることができたので、この予想を解決したい。中島のアルゴリズムを利用して、多面体を定める不等式を計算し、その不等式と組み合わせ論的対象を比較することで、証明を完成させる。
既約加群を一般化したextremal weight加群の結晶基底についても、その多面体表示を研究する。具体的には、多面体表示の具体形に関する特徴付けを行う。さらにその結果を応用し、結晶基底の連結性等を解明したい。本研究課題については、受入研究者である佐垣氏と共同研究を行う。
また、古典型リー群上のdecorationを明示的に求めるアルゴリズムを構築したい。A型リー群上のdecorationを求めるアルゴリズムは、リー環の表現論を利用して構築したため、この方法を一般化することで、古典型リー群上のdecorationを求める。本研究課題については、Koshevoy氏、中島氏と共同研究を行う。
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