2022 Fiscal Year Annual Research Report
点付き曲面に付随する団代数とgentle代数の導来圏
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20J00410
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Research Institution | Tohoku University |
Research Fellow |
百合草 寿哉 東北大学, 理学研究科, 客員研究者
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Project Period (FY) |
2020-04-24 – 2023-03-31
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Keywords | 団代数 / τ傾理論 |
Outline of Annual Research Achievements |
団代数の生成元である団変数は、fベクトル、gベクトル、cベクトルと呼ばれる不変量を持つ。団変数の変異に伴いfベクトルにも変異が定義され、行田氏と藤原氏はgベクトルとcベクトルを用いたfベクトルの漸化式を与えることで、fベクトルを再帰的に定義した。一方、団代数にはヤコビ代数の加群圏による圏化が存在し、団変数と“到達可能な”直既約τリジッド加群が対応し、fベクトルとそれらの次元ベクトルが一致する。また、τ傾理論においてもgベクトルとcベクトルが存在し、団代数のそれらと一致する。 本年度は圏論の観点から、ヤコビ代数を含んだより大きいクラスである団傾(cluster tilted)代数に対し、gベクトルとcベクトルを用いた直既約τリジッド加群の次元ベクトルの漸化式を与えた。特に、上記のfベクトルと同じ漸化式で与えられる。 応用の一つとして、点付き曲面から定義される曲面団代数とLabardini-Fragosoが定義した曲面ヤコビ代数を考える。境界がなく穴を一つのみ持つ閉曲面(一穴閉曲面)以外の点付き曲面に対し、曲面団代数の団変数と曲面のタグ付き曲線が一対一対応し、fベクトルと交点ベクトルが一致する。また、曲面ヤコビ代数の直既約τリジッド加群は全て到達可能であるため、次元ベクトルが全てタグ付き曲線の交点ベクトルで与えられる。一方、一穴閉曲面において、到達可能でない曲面ヤコビ代数の直既約τリジッド加群が存在するが、全ての直既約τリジッド加群と曲面のタグ付き曲線と一対一対応する(団変数とは一対一ではない)。今回得た漸化式を用いることで、この対応における次元ベクトルと交点ベクトルが一致する。即ち、全ての点付き曲面に対し、曲面ヤコビ代数の直既約τリジッド加群の次元ベクトルが交点ベクトルで得られる。
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Research Progress Status |
令和4年度が最終年度であるため、記入しない。
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Strategy for Future Research Activity |
令和4年度が最終年度であるため、記入しない。
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Research Products
(1 results)