2021 Fiscal Year Annual Research Report
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20J00940
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
和久井 洋司 東京理科大学, 理学部第一部, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2020-04-24 – 2023-03-31
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| Keywords | 放物型方程式 / 漸近挙動 / 解の爆発 / 安定性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、走化性モデルや圧縮性流体力学に関連した非線型放物型偏微分方程式、特に放物型・楕円型偏微分方程式の連立系で与えられるKeller-Segel系の最も単純なものの一つである移流拡散方程式を主たる対象とし、その類似の方程式の解の非有界性や有界性といった性質や時間大域挙動を詳細に解析することが大きな目的である。本年度得られた結果は以下の通りである。
(1) 移流拡散方程式の初期値問題の有限時間爆発解に対する挙動の解析が一部得られた。具体的には、形状分解の方法を用いて非球対称及び球対称爆発解に対して、爆発形状の満たすべき尺度不変量に対する局所的な定量的評価を与えた。特に、この評価は球対称の場合に既知の結果とは大きく異なることが明示的に示され、空間２次元との決定的な違いの一部を明らかにした。
(2) 移流拡散方程式の解の時間大域挙動の解析のうち、局所可積分性に着目した枠組みにおいて特殊解の存在性を考察した。本年度は、その特殊解の存在性を調べる際に適切な枠組みと、基本的な評価式を得る際に必要と考えられる手法を精査し、その解析に取り組み、特殊解が持つ漸近形の満たすべき方程式を特定した。
(3) 前年度に得られた移流拡散方程式の定数定常解の安定性について、臨界値となる定数における解の安定性を考察した。臨界値におけるその安定性は、対応する線形化作用素の生成する半群をFourier変換によって具体的に表示し、低周波と高周波における評価を分けて行うことで得られた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初予定していた計画内容を概ね網羅することができた。特に、非有界な解に対する解の満たす特徴を一部明らかにし、空間2次元の場合と比較して大きく異なる部分を見出すことができた。一方で、当初予定していた海外滞在については新型コロナウィルス感染症の国際的な蔓延により中止せざるを得なかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
次年度は次の通りに推進して行く予定である。
（１）移流拡散方程式の初期値問題の局所可積分性に着目した枠組みにおいて、質量保存則の成立する枠組みと比較して時間大域挙動を決定する条件の違いを精査し、局所的な積分量が解の時間大域挙動に与える影響の解析を試みる。その際に、非線形項を制御する関数不等式の最良定数と尺度不変量の関連をより詳細に解析する。
（２）移流拡散方程式の定数定常解の安定性に付随して、進行波解や散逸波解の構成とその存在性について関数解析学の手法をもとに解析を行う。
（３）移流拡散方程式を例えば周期境界条件付きで考えた場合に、対応する解の時間大域挙動の変化や時間大域挙動を支配する特徴量の変化の解析を行う。
国外研究者との研究に関する打ち合わせは新型コロナウィルス感染症拡大の観点から、準備段階ではオンラインによる打ち合わせを積極的に行う予定である。
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