2020 Fiscal Year Annual Research Report
三角圏のスペクトラムによる無限生成コーエン・マコーレー表現とコサポートの研究
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20J01865
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
中村 力 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2020-04-24 – 2023-03-31
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| Keywords | ネーター多元環 / 平坦余ねじれ加群 / Zieglerスペクトラム / 導来圏 / 傾理論 / アデール |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度の研究は、大きく３つに分かれる。
（１） Enochsによる可換ネーター環上の平坦余ねじれ加群の構造定理は、コサポートの性質を理解する上で基本的な役割を持つ。神田遼氏との共同研究において、この平坦余ねじれ加群の構造定理を、可換ネーター環上加群として有限生成な多元環(ネーター多元環)へと一般化した。系として、直既約移入左加群の同型類と直既約平坦余ねじれ右加群の同型類の間に、ネーター多元環の素イデアルのスペクトラムを介した自然な一対一対応が存在することを示した。これはHerzogが加群圏のZieglerスペクトラムとelementary dualityの観点から与えた位相同型写像を具体的に実現するものである。
（２）三角圏と導来圏の三角同値を扱う傾理論は、多元環の表現論において重要な役割を持ち、変異の操作を可能にする準傾理論へと拡張しながら盛んに研究が行われている。通常は有限生成加群が念頭にあるが、無限生成加群に基づいた理論も積極的に展開されており、通常の(準)傾対象では誘導されないねじれ類やt構造、三角同値を捉えることを可能にしている。Michal Hrbek氏とJan Stovicek氏との共同研究において、無限生成加群のなす(準)傾複体を可換ネーター環の導来圏に対して豊富に構成した。
（３）数論におけるアデールの概念の2次元版を与えたParshinの仕事に基づいて、Beilinsonはアデリック複体と呼ばれる対象をネータースキーム上で導入した。このアデリック複体が、アファインの場合には2018年の中村-吉野のコサポートに関する論文で導入したチェック複体の一種で明瞭に実現されることを明らかにした。これは、最近のBalchinとGreenleesによるテンソル三角圏の対象の分解方法の一つとしてアデリック複体の類似物が現れるという彼らの見解を肯定的に支持するものである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
無限生成Cohen-Macaulay表現を考える上で、平坦余ねじれ加群は射影加群に代わって重要な役割を果たすことが期待される。しかし非可換の場合を含めて整環上で理論を作るためには、まずはネーター多元環に対して平坦余ねじれ加群の構造定理を与えることが理にかなっていた。（１）の研究ではこの段階を完了している。また、コサポートの理論をネーター多元環に対して展開するための十分な成果を得たと言える。
（２）の研究で与えた豊富な具体例はそれ自体意義のあるものであるが、多元環の表現論の中心的テーマである傾理論の無限生成版は、本研究課題からしても自然に関心を寄せるところである。実際、双対として構成した余傾複体の特別なものが、無限生成Cohen-Macaulay表現で扱うべき加群圏の部分圏を誘導するという知見を得ることができた。
（３）で言及したチェック複体は、射影加群の複体を平坦余ねじれ加群の複体へと自然に置き換える方法を与え、本研究課題でも重要な道具である。これがParshinやBeilinsonの高次元アデールの理論と結びつくことは興味深い事実であった。BalchinとGreenleesの研究は、Balmerスペクトラムを介して与えられているため、本研究課題の目的の一つとして、彼らの研究の補完から着手し、肯定的な成果を得た次第である。
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| Strategy for Future Research Activity |
無限生成Cohen-Macaulay表現の研究を本格的に進める。コサポートの理論としては部分圏の分類問題に取り組む。また、ネータースキーム上のアデリック複体の新しい構成方法についての研究を行う。
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Research Products
(4 results)
