2020 Fiscal Year Annual Research Report
四次元多様体上のエンゲル構造のトポロジーによる分類
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20J10455
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
山崎 晃司 東京工業大学, 理学院, 特別研究員(DC2)
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| Project Period (FY) |
2020-04-24 – 2022-03-31
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| Keywords | Engel多様体 / 微分トポロジー / h-principle |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Engel多様体の自己同型群について以前に得られていた結果を、研究集会「接触構造、特異点、微分方程式及びその周辺」にて発表した。これは、Engel多様体がCartan延長を被覆しない場合、その自己同型群はCartan延長の自己同型群に単射で埋め込まれるという結果である。実際、多くの場合はその自己同型群は非常に小さい群になる。Engel多様体がCartan延長を被覆する場合、その自己同型群は非常に大きい群(無限次元)となることと対照的である。さらにその系として、自己同型群が自明群となるEngel多様体の構成にも成功した。これにより、アメリカ数学研究所(AIM)で発表されていた未解決問題が解決された。本結果は、Engel多様体のやわらかさに注目していた多くの先行研究とは逆に、Engel多様体のかたさに注目したものである。
また、あらゆるh-principleの基礎となるGromovのh-principleについて、Gromov自身による抽象的な証明を正当化し、その背後にある圏論的な構造を明らかにした。これは、Haefligerのh-principleを含む、より抽象的な理論の存在を示唆している。h-principleは微分トポロジーの研究対象として様々な分野に現れるが、その背後にある理論そのものはあまり研究されてこなかった。本結果はh-principleを代数トポロジーの視点で見直したものとも思える。これにより、h-principleの研究へ他分野からの参入者を呼び込み、h-principleをさらに多くの分野にまたがる基礎理論として再解釈することが可能ではないかと期待できる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
h-principleの取り扱いが当初の想定よりも遥かに難解で奥が深いため。
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| Strategy for Future Research Activity |
h-principleをより抽象的な視点から見直し、そこからEngel多様体論への応用を探る。
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