2020 Fiscal Year Annual Research Report

モジュラー関数のサイクル積分と実二次体の数論との関係について

Research Project

Project/Area Number	20J20308
Research Institution	Tohoku University
Principal Investigator	村上友哉東北大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
Project Period (FY)	2020-04-24 – 2023-03-31
Keywords	モジュラー関数 / サイクル積分 / モジュラー曲線
Outline of Annual Research Achievements	今年度は1件の論文発表と1件の研究発表を行った。いずれもモジュラー対応の交点数に関する研究である修士論文の内容をまとめた結果である。また10件以上の研究集会に参加し、関連分野の最先端の研究について見聞を深めた。修士論文で得られたモジュラー対応の交点数に関する結果は複素幾何的な設定の下での結果だが、Arakelov幾何の設定で交点数を計算することでより深い結果が得られることが期待される。そこでArakelov幾何的観点からのモジュラー曲線の研究について理解を深めた。その過程でモジュラー曲線の双対化層とそのHecke対応による像とのArakelov交点数を計算するという問題意識が浮かび上がり、現在これについて研究を進めている。また昨年度に引き続きモジュラー関数のサイクル積分に関する研究を行った。サイクル積分は虚二次体に関する特異モジュライの実二次類似での役割を果たすことが期待されている対象であるが、特異モジュライの定義に用いられるj関数がモジュラー曲線上の正則関数になることが知られているのに対し、サイクル積分が性質の良い多様体上の性質の良い写像になるかどうかについては現状知られておらず、このことが研究を困難にしている。そこで私は、実二次無理数に対してのみ定義されていたサイクル積分を不良近似数と呼ばれるクラスの実数に対しても定義し、その連続性について調べた。しかしながら現状得られている結果は部分的な連続性についてのみであり、どのような位相に関して連続になるかについては研究中である。その研究の際には無限語の組合せ論に関する結果を応用することができると予想しており、現在これについて理解を深めている。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 1: Research has progressed more than it was originally planned. Reason 連分数の観点からの考察によりサイクル積分と記号力学系の意外な関連が明らかになるなど、予想を超えた発見が得られたため。
Strategy for Future Research Activity	記号力学系のゼータ関数のFredholm行列式表示や解析接続に関して得られた結果をサイクル積分に応用するための研究を進める。またサイクル積分と関わりが深い特殊関数である双曲的Eisenstein級数について、Borcherdsリフトとの関連を調べる。