カンパナト空間、BMOの理論の深化と応用

2020 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 20J20606
• Research Institution: Chuo University
• Principal Investigator: 小野 高裕 中央大学, 理工学研究科, 特別研究員(DC1)
• Project Period (FY): 2020-04-24 – 2023-03-31
• Keywords: カンパナト空間 / BMO / 特異積分 / T1定理 / オーリッツ空間 / ローレンツ空間

Outline of Annual Research Achievements

本研究では主に二つの課題について研究を行った。
まず、新しく導入したカルデロン-ジグムンド型特異積分作用素がルベーグ空間からルベーグ空間へ有界作用素となるための必要十分条件についてである。古典的なカルデロン-ジグムンド型特異積分作用素に対しては、関数空間BMOを応用することにより、作用素がルベーグ空間で有界であるための必要十分条件が知られている。そのことを示した定理が、一般にT1定理と呼ばれるものである。本研究では、BMOの一般化空間であるカンパナト空間を応用することにより、一般化カルデロン-ジグムンド型特異積分作用素がルベーグ空間からルベーグ空間へ有界であるための必要十分条件を得られた。これにより、例えば一般の関数に対するカルデロンの交換子など、これまでの特異積分作用素の理論で扱うことが難しかった作用素に対してその有界性を議論しやすくなる。
次に、弱オーリッツ空間の前双対空間に関する研究である。これは波多野修也氏と川澄亮太氏との共同研究である。オーリッツ空間はルベーグ空間を一般化し、また弱ルベーグ空間の前双対空間はローレンツ空間によって与えられることが知られている。そこで、本研究ではオーリッツ-ローレンツ空間を新たに導入することにより、その空間がある条件下で弱オーリッツ空間の前双対空間となりうることが分かった。またその応用として、弱オーリッツ空間におけるフェファーマン-スタインのベクトル値型極大不等式を示した。これにより、弱オーリッツ空間における作用素などの性質を調べる際に、まずオーリッツ-ローレンツ空間にて考察を行うことで、得られた良い性質を弱オーリッツ空間に持ち上げることが可能となる。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

コロナの影響で学会等における発表・情報収集の機会は予定より少なかったが、共同研究などもあり、おおむね順調に研究が進んだといえる。

Strategy for Future Research Activity

今後も共同研究や学会参加などを精力的に行い関連分野に関する情報収集を行う。また上記の研究結果に関する論文の投稿を予定している。