2020 Fiscal Year Annual Research Report
正標数関数体上の超越数論：Mahler関数と4指数問題
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20J21203
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
井手 春希 慶應義塾大学, 理工学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2020-04-24 – 2023-03-31
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| Keywords | 超越数 / 代数的独立 / Mahler関数 / 線形回帰数列 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、任意に指定された変数の個数sに対して、以下の性質を満たすs変数複素整関数をMahler関数の枠組みにおいて具体的に構成した。その性質は、複素s次元空間内の代数的数成分の全ての点におけるその関数の値及び任意の階数の偏導関数の値からなる無限集合が代数的独立となる、というものである。本結果の特筆すべき点は次の2点である。(1)従来s=1またはs=2の場合に限り類似の性質を持つs変数複素整関数の実例が知られていたのに対し、本結果では任意に与えられたsに対して、sに依らない統一的な構成方法によって所望の性質を有する関数を構成した。(2)s=1またはs=2の場合の先行結果では、0を成分に含む代数点における関数の値は、それらの値が代数的数となる、あるいはそれらの値が代数的従属な超越数となるという理由により扱われなかった。一方本結果において代数的独立であることが示された無限集合は、0を成分に持つあらゆる代数点における関数値をも含んでいる。
上記(1)で言及した構成方法は具体的には、共通の線形回帰数列により生成される十分に異なるs個の1変数無限積と、或るs変数多重ランベルト型級数の積をとる、というものである。このようにして構成される関数は、各変数に関して相異なる多項式により定義されるいかなる変数変換を施しても、変換後の関数たちと元の関数とが有理関数体上代数的独立となる、という極めて複雑な非対称性を有している。
以上の結果を研究集会「解析的整数論の展望と諸問題」にて発表した。さらに、この結果を査読付き学術誌に投稿するため、現在論文を執筆中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度の研究では、代数的独立性に関して「研究実績の概要」欄で述べた顕著な性質を有する多変数解析関数を構成できた。そのような多変数解析関数の実例を、Mahler関数の枠組みにおいて極めて具体的かつ統一的な方法で構成できたことは意義深い。特に、0を成分に持つ代数点における関数値の代数的独立性をも示したことで、本年度の研究の構想を満足のいく形で実現できた。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度の研究の或る議論において多変数有理関数体の付値の概念が重要な役割を果たすことが示唆されている。付値の概念は将来的に正標数関数体への応用を考える際にも重要な役割を果たすため、多変数有理関数体の付値に関して更なる調査を行う。
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