2020 Fiscal Year Annual Research Report
p進コホモロジー論を用いた相対モチーフ理論と代数的K群の研究
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20J22797
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
松本 圭峰 東京工業大学, 理学院, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2020-04-24 – 2023-03-31
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| Keywords | モチーフ理論 / 非可換代数幾何学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本特別研究員の今回の研究成果として，整係数Grothendieck-Riemann-Roch理論の証明とそれを用いた整係数導来不変量の結果が挙げられる．
本特別研究員は，整係数Grothendieck-Riemann-Roch理論を，任意の標数に拡張した．その結果，標数と互いに素な素数lに対して，偶数次数，奇数次数の整係数l-進エタールコホモロジーや，偶数次数，奇数次数のBettiコホモロジー群のある捻じれの情報といった，様々な導来不変量を新たに構成した．この仕事は数論や代数幾何学の分野に応用を与えた．
ミラー対象性の研究への応用として，偶数次数，奇数次数のBettiコホモロジー群のある捻じれに関する結果を用いて，Batyrev-Kreuserの予想の修正版を考案し，また自然数mが２，３，５，７と互いに素な時に，代数曲面に対して，その基本群のｍ-捻じれが導来不変であることを示した．この研究は，今まで解明が進んでいなかった基本群と導来圏の関係に，様々な示唆をあたえるものである．
またこれまで3次元以下の多様体にのみ証明されていた，Hodge-Witt還元が導来不変であるという主張を，標数が十分大きい場合に，任意の次元で更にordinaryの場合で解決した．この結果は，異なる極小モデルが同様なコホモロジー論的性質を持つことを示唆しており，双有理幾何学の分野でも興味深い結果である．
数論への応用として，p-進ホッジ理論と非可換代数幾何学に関する結果を用いて，射影平面を含むような３次4次元多様体に対して，Serreのordinary還元の密度予想を証明した．これら一連の結果は，大阪大学代数幾何セミナー等で発表を行った．
また，相対モチーフのGysin列に関する結果が，国際論文雑誌Journal of the Instituteof Mathematics of Jussieuにて掲載された．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
整係数Grothendieck-Riemann-Roch理論を用いて，非可換な整係数不変量とモチーフ理論を結びつける仕事は成功したと考える．また，これらの結果を更にmodulus付きのモチーフ理論と結びつける研究等，多くの示唆も得られた．また，ミラー対称性や双有理幾何学への応用も期待されている．
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| Strategy for Future Research Activity |
cubic 4-foldに対してのSerreのordinarydensity予想の証明では，p-進ホッジ理論が重要な役割を果たしたが，これからの研究では，非可換なp-進ホッジ理論の構築を目指し，さらに多くの場合でSerreのordinarydensity予想を証明したいと考える．具体的には，位相的K群とperiodicホモロジー群とを比較する非可換de Rhamの定理と，エタールK群と位相的periodic ホモロジー群を比較する非可換クリスタリン予想等を考えている．
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