2021 Fiscal Year Annual Research Report
Hilbert's tenth problem and computability theory
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20J23039
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
湯山 孝雄 東京工業大学, 理学院, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2020-04-24 – 2023-03-31
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| Keywords | 群の語の問題 / 形式言語理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和3年度は前年度に引き続き，より広く「代数学と計算論の関係」という観点から，群の語の問題と形式言語理論の関係について，Muller-Schuppの定理の一般化を目指す方向で研究を進めた．文脈自由言語を含む数多の形式言語クラスのうち，特に群を用いて定義される群オートマトンと呼ばれる概念によって定義される言語クラスに着目した．既存の言語クラスのいくつかは群オートマトンを用いて特徴付けられることが知られているので，これを用いて「群の語の問題が特定の形式言語クラスに属する」という従来のMuller-Schupp型の条件を「群Hの語の問題がGオートマトンで認識される」という条件に一般化した問いを考えた．これにより問題が「1つの群と1つの言語クラスの関係」から「2つ群の間の形式言語理論的な関係」へと帰着され，より代数的な考察を行うことが可能となった．
この問題について，Kambitesによる決定性群オートマトンに関する結果の別証明を与えた．また，群の語の問題のモノイド準同型による逆像が再び群の語の問題となることや，群の語の問題と正規言語の共通部分が群の語の問題になるときの2つの群の関係の完全な特徴付けを得ることができた．この内容は論文にまとめ，論文雑誌に投稿する予定である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要で述べた通り，Kambitesによる既存の結果の別証明を与え，また群オートマトンが特別な形をしている場合として，モノイド準同型写像の逆像であるような場合と，正規言語との共通部分であるような場合について，2つの群の間の関係を完全に特定することができた．これらの成果により，群の語の問題と形式言語理論の関係について，より深く理解でき，当該分野に一定の貢献を果たしたものと考える．
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| Strategy for Future Research Activity |
次年度も引き続き群の語の問題と形式言語理論の関係について研究を進める予定である．一般の2つの群について，一般の群オートマトンを考察することは困難であるため，次年度はまずより具体的な群のクラスと群オートマトンのクラスに限定して問題を考察することにする．群のクラスとしては，例えば双曲群やオートマティック群など，形式言語理論と関係が深い群について研究することを考えている．また，群オートマトンのクラスとしては，状態集合が1点集合であるような場合をまず研究することを考えている．
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Research Products
(4 results)
