2020 Fiscal Year Research-status Report
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20K03512
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
雪江 明彦 京都大学, 理学研究科, 教授 (20312548)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 概均質ベクトル空間 / 有理軌道 / 密度定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
以前発表した論文が3本出版された。1つはtri-Hermitian form に関連した密度定理の第2部で3次体を固定し，2次体を動かすとき，合成体の6次体と2次体のいわゆる相対hRの密度の決定である。あと2つは現在行っている研究の第1,2部だが，2つの重要な概均質ベクトル空間のGIT stratification を決定した。これは，ようするに，一般点だけでなく，作用が悪い点も含め有理軌道をすべて決定したということである。また，もう1つの重要な概均質ベクトル空間の GIT stratification も決定した。これは142ページの結構な大作になったが，現在投稿中である。具体的には，次の3つの概均質ベクトル空間である。
(1) G=GL_3xGL_3xG_2, V=M(3,3)\otimes k^2
(2) G=GL_6xGL_2, V=\wedge^2 k^6\otimes k^2
(3) G=GL_5xGL_4, V=\wedge^2 k^5\otimes k^4
(1),(2)は両方とも一般点が3次体と対応し，イデアル類などをパラメータ化する興味深い対象である。(3)は5次体をパラメータ化する重要なおそらく一番重要な概均質ベクトル空間である。これらの作用が悪いところもすべて軌道を決定することは，ゼータ関数のすべての極を決定することやp進体上の軌道をすべて明示的に決定するなどの応用が期待され意義があると思われる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
密度定理は解析数論では主要な関心事であり，証明できたことには意義がある。また以前発表した GIT stratification の理論を具体的に適用して一番難しい場合である「5次体」の場合にそれを決定できたことには意義がある。群が一般線形群の積の場合残っているのは1つである。また，(3)の場合の論文(投稿中)では考えている概均質ベクトル空間の Stratum に関連して現れるより小さい概均質ベクトル空間の GIT stratification が元々の概均質ベクトル空間の GIT stratification からほぼ定まるということも証明したので，(1),(2),(3)に含まれるような概均質ベクトル空間の場合にはかなり少ない労力で GIT stratification が決定できることが期待される。それ以外に考えていることは極の位数が2以上の場合にフィルター化プロセスをどう適用するかとか，連分数の概念の概均質ベクトル空間の観点からの一般化などを考えているが現在進行中である。
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| Strategy for Future Research Activity |
上に書いたように，(1),(2),(3)に含まれるような概均質ベクトル空間の場合に GIT stratification を考えることはこれからも継続する。また，一般点の有理軌道の解釈ができてない場合もあるのでそれは継続する。極の位数が2以上の場合にフィルター化プロセスをどう適用するかとか，連分数の概念の概均質ベクトル空間の観点からの一般化についても考えていく。
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| Causes of Carryover |
コロナで自分の出張，対面の研究集会開催ができず，旅費が大幅に余ったため。今年度は，研究集会を対面で行い，可能なら外国人招聘で旅費を消化したい。
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