2020 Fiscal Year Research-status Report

モチーフの有限次元性、Conservativity、そしてその周辺

Research Project

Project/Area Number	20K03514
Research Institution	Hiroshima University
Principal Investigator	木村俊一広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 教授 (10284150)
Project Period (FY)	2020-04-01 – 2023-03-31
Keywords	モチーフの有限次元性 / モチビックゼータ / コラッツ予想
Outline of Annual Research Achievements	本研究は一般の圏におけるモチビックゼータの構成と、その有理性についての研究であるが、それに関連してコラッツ予想にあらわれるモチビックゼータが非常に面白い挙動をすることを発見した。コラッツ予想は自然数Nから始めて「その数が偶数なら２で割り、奇数なら３倍して１を足してから２で割る」という操作を繰り返すと、どのNから始めても必ずいつかは１になる、という予想であるが、それぞれの操作にあらわれる偶奇を０と１とみなして２進数の桁と見なした数は「LagariasのQ関数」と呼ばれる関数のNでの値であり、コラッツ予想は、「どんなNに対してもLagarias Q関数の値は３を分母、整数を分子とする有理数であらわされる」と表現することができる。自然数のかわりに「整数から出発する」あるいは「３倍して１を足すかわりに、何か奇数を足す」とした場合でもコラッツ予想と同様の予想ができて、それぞれLagarias のQ関数の値の有理性と同値になる。本研究では整数のかわりに２元体F_2を係数とした多項式に対して「tで割れるならtで割り、そうでなければ(t+1)倍して１を足してtで割る」という操作を考え、これについてのコラッツ予想と対応する Lagarias Q関数を考察した。この場合には一般化も含めてコラッツ予想のアナロジーが成り立つことを証明した。一般化の部分が新しい結果となる。さらに、多項式上の無理式となる冪級数に対してLagarias のQ関数を計算し、Q関数が２次の無理式となる例を発見した。これはモチビックゼータが有理関数でない代数関数となった初めての例である。また、Lagarias のQ関数の偶奇を反転した場合の双対現象を発見した。以上の結果について、現在論文準備中である。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason モチビックゼータが有理的でない時に何が起こるか、という問題意識から調べ始めた特殊なモチビックゼータであったが、有理的でないのに代数的な例を発見したことは大きな成果である。その代数拡大についてもいくつかの例について詳細に調べており、２次の無理式となる冪級数 fとg の差が多項式であっても、対応するQ関数が入る体が相異なる例を構成した。というか、正確には同じ２次体に属する無理式では、Q関数の値が属する体は計算できた例では全て正確に２種類あらわれる。その証明には膨大な計算が必要であり、大きな成果であると考えている。一方、３次の無理式に対しては、Q関数が代数的であるかどうかがまだ判定できていない。４次の無理式についても、特殊な例では代数的になるように思われるが、厳密に証明ができていない。また、２次の無理式についても、一般の無理式の場合での証明はまだ終わっていない。新しい研究分野を見出したという意味で大きい成果であるが、まだやるべきことは多く残っており、当初の研究計画では想定していなかった成果をあげつつあるものの、これで満足していてはいけない状況である。
Strategy for Future Research Activity	２次の無理式の場合に、これまでの計算結果を踏まえて、一般の２次式に対してQ関数が２次の無理式になることの証明を試みる。また、これまでの例で観察された、「同じ２次体に属する無理式から出発すれば、そのQ関数を含む２次体がちょうど２種類になる」ことの証明をこころみる。３次以上の無理式の場合について、特に３次の無理式について、Q関数が代数的かどうかの判定を行いたい。代数的であったとした場合、これまでの計算結果からして定義方程式にあらわれる多項式の次数が非常に大きくなりそうであることがわかっている。一方、もし代数的でない場合、それをどういう方法で示すのかが今の所見えていない。有理式の場合でも未解決の問題が残っている。多項式から始めて「tで割れるならtで割り、そうでなければ(t+1)倍して１を足してtで割る」という操作を繰り返すと必ず最後は１になり、奇数、奇数、奇数、と続くことになるが、一方現在までの実験結果では分子の次数が分母より低くなるような有理関数から操作を始めると最後は０になり、偶数、偶数、偶数、と続くことになる。つまり、多項式から偶奇を反転した形になり、Q関数を通した双対性が期待される。実験をしてみるといくつか自然な予想を立てることができるが、なぜそのような現象が起こっているのかを調べたい。
Causes of Carryover	コロナのために予定していた研究集会を開くことができず、また参加を予定していた研究集会も中止されてしまった。現在多くの研究集会がオンラインとなっているが、現在の機器が古すぎて十分に対応できていない。最先端のネット会議ソフトに対応できるコンピューターなどの機器の購入を予定している。