2022 Fiscal Year Research-status Report
モチーフの有限次元性、Conservativity、そしてその周辺
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20K03514
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
木村 俊一 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 教授 (10284150)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | モチビックゼータ / 有限次元性 / 組合せゲーム理論 / コラッツ予想 / ハッケンブッシュ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
コラッツ予想は、自然数に対して、奇数なら3倍して１を足し、偶数なら２で割る、という操作を繰り返すと、いつかは必ず１、２、１、２というサイクルに収束する、という予想である。整数や奇数分母の有理数に対する一般化も知られていて、その場合は何らかのサイクルに収束し、無限に発散することはない、という予想(サイクル予想）となる。一方、3倍するかわりに5倍、7倍などにするとほとんどの自然数に対して無限に発散する、という強い証拠がある。
本研究では、通常の整数から一般化して、２進整数 p に対して同様の現象が見出されるかどうか、またLagariasのQ関数をモチビックゼータの一種と見て、どのような現象が見出されるかについて新しい成果を得た。まず、サイクル予想が成り立つためには、p が代数的数でなくてはならないことが示された。さらにごく最近、p は代数的整数であることが必要であることが証明された。また、Q関数の値について、コラッツ予想を仮定すると、Q関数の真分数は１／３または２／３になるが、そのどちらが多くなるかを調べると、不思議な周期性があらわれる現象を発見した。
また、グラフのモチビックゼータの有理性について、グラフの辺に赤、青あるいは緑に彩色して、ハッケンブッシュゲームとみなすことによって、赤と青なら任意の実数 a を次数とする(1+t)^aをモチビックゼータとするグラフを構成できることを発見した。有理性、代数性のみならず、より一般的な現象を発見したことになる。また、緑の辺を持つグラフに対しては、標数２のモチビックゼータを考えることが自然であると思われる。赤青と緑を混ぜた場合は、組み合わせゲーム理論的にも未解決な問題が発生しているはずである。また、赤青のみ、あるいは緑のみの場合も無限を元として含む体があらわれ、今後に面白い研究課題を提供している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
有限グラフのK環およびモチビックゼータを考えることで、整数値の指標やモチビックゼータの有理性が観察されると期待して研究を始めたが、組合せゲームとみなすことによって、有限グラフですでに非整数有理数値や、その値を次数に持つ代数関数がモチビックゼータとしてあらわれたことは驚きであった。さらに無限グラフを考えると任意の実数を次数とする（よって超越関数となる）モチビックゼータがあらわれ、さらに無限がゲーム値としてあらわれたことは、本研究のみならず、現代数学における無限概念に対して新しい課題をつきつける発見であると考えている。（Conway の無限については古くから知られていたが、その知見について十分広く知られているとは言えない状況であると考える。）
コラッツ予想に関しては、最近の研究で奇数の係数 p について、1 から始まるコラッツ列がサイクルに収束するための必要条件として p が代数的整数でなくてはならないことを証明したことは大きな前進であると考える。
一方、Q関数の値について、不思議な波現象を発見し、それがさまざまな脈絡で現れることを確認したことは、コラッツ予想が証明されたあとでも研究するべき極めて興味深いものであると考える。
p が２次の奇無理数の場合は、サイクル予想が成り立ちそうな場合とそうでない場合がほぼ予想できたことも大きな成果である。すなわち、サイクル予想が成り立つための必要十分条件は、p が代数的整数で、定義方程式の複素数解の絶対値が４以下であり、２進整数での共役解が４の倍数となることであると思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
彩色グラフを組合せゲームとみなした時のゲーム値の研究に、まず力をいれようと思っている。赤青ハッケンブッシュの場合が、ゲーム値が超現実数となるケースであり、特に整数値となるような場合は古典的な代数多様体のモチビックゼータと同様の振る舞いをすることが期待される。非整数の有理数値となる場合も、モチビックゼータは有理式ではないが代数関数となるはずで、代数的な分析ができることが期待できる。一方、非有理数の実数値となる場合はこれまでに予想もできなかった現象が起こると思われ、慎重な研究が必要となると思われる。さらに非実数の超現実数となる場合については、そもそも超現実数の研究がこれまで十分進んでいるとは思われず、まずモチビックゼータ研究に適した数概念の構築を行う必要があると思われる。また、緑ハッケンブッシュは標数２の数概念に対応しているはずなので、具体的に調べたい。
さらに赤青緑が混在するハッケンブッシュのゲーム値、およびそのモチビックゼータは、有限ゲームの場合でもほとんどわかっていない。今後の研究が必要である。
コラッツ予想の Lagarias Q関数の有理性の問題については、発見した不思議な波について、まずは正確な予想を立てたい。
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| Causes of Carryover |
参加を予定していた研究集会が、コロナおよびウクライナ戦争により中止となった。
今年度は日本組合せゲーム理論研究集会など、関連する研究集会に参加する。また、昨年度再開した岡山広島代数学セミナーを今年度も開催する。
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