2023 Fiscal Year Annual Research Report
モチーフの有限次元性、Conservativity、そしてその周辺
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20K03514
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
木村 俊一 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 教授 (10284150)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 組合せゲーム理論 / Subtraction Nim / Grundy Number / Motivic Zeta |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Subtraction Nim のモチビックゼータの理解を目標とした研究を行い、その周辺においてもいくつかの大きな進展が見られた。
１次元のSubtration Nim に対し outcome Motivic Zeta O_S(t) と Grundy Motivic Zeta G_S(t) が定義され、たとえば S={1, 2} という set of removable numbers に対しては O_S(t)=1/(1-t^3), G_S(t)=(t+2^2)/(1-t^3) となり、いずれも有理関数となる。１次元でSが有限集合ならばいずれのモチビックゼータも有理関数となるが、その次数評価やSが無限集合となる場合については一般には未解決であり、Sが対称集合となる場合などに次数評価を与えるなどの進展があった。
２次元の場合は S が有限集合であってもモチビックゼータが有理関数にはなりそうにないことの強い証拠を与えた。また、Sが無限集合だが規則的な場合（Triangular Nim、Yama Nim, あるいは Triangular Nim with Wythoff Variationなど）の場合に、アウトカムモチビックゼータを具体的に計算し、有理的になる場合（ab-Traignular Nim）と有理的にならない場合（Wythoff Variaiton)を発見した。特に良形集合として x<y に限ると (0, 1), (1, 4), (4, 9), (9, 16), ...のように平方数の数列（より一般に d角形数列）などがあらわれる例を発見した。
Enforce Operator と Carry on Option (Entailing) を組みわせることで、１次元の場合でも Subtraction Game で新しい現象が起こることを発見した。Enforce Operator のみ、あるいは Carry on Option のみだとグランディー数が定義できる古典的な不偏ゲームの枠組みに入るが、両方あわせると Entailing Game の枠組みが必要となる一方で、すべての有限オートマトンが実現でき、例えば良形集合が de Bruijn 数列となるような例も構成した。
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