2022 Fiscal Year Research-status Report
擬尖点形式を用いた跡公式の分割と保型形式及びゼータ関数の研究
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20K03515
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
権 寧魯 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (30302508)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 跡公式 / セルバーグゼータ関数 / 不定値直交群 / ジーゲルモジュラー多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
階数１の局所対称空間に対して定まるセルバーグゼータ関数とその数論的応用はよく知られているが、これらを階数２以上の場合に一般化することを主目的として、現在まで研究を実施してきた。特に階数２以上、非コンパクトで体積有限な場合が、数論的応用において重要であるが、現在まであまり研究されてこなかった。過去の筆者らの研究により、(A) 実数体上と複素数体上の２次の特殊線形群複数個の直積を代数体の整数環成分の離散部分群で割った商空間、(B) 実数体上の３次の特殊線形群を有理整数成分の離散部分群で割った商空間、両者の場合に、１変数または２変数のセルバーグ型ゼータ関数を定義し、その解析的性質を明らかにすることで、代数体の類数分布の漸近公式などの数論的応用が得られていた。
今年度は、今まで扱っていなかった (i) 実数体上の階数１の不定値直交群複数個の直積を離散部分群で割った商空間、(ii) 種数２のジーゲルモジュラー多様体、の両者の場合に研究を実施した。
(i)では、直積因子が二つで次元の積が偶数の場合、1変数のセルバーグ型ゼータ関数が定義されて、全平面に有理型に解析接続されることがわかった。Ｋタイプとして“隣接する基本表現の組”を持つセルバーグ跡公式を組み合わせて、単純化した跡公式を得ることがポイントであった。 (ii)について、ある階数１の放物型部分群に共役な元からなる“1型双曲共役類”を定義し、それから構成される1変数のセルバーグ型ゼータ関数を定義した。このゼータ関数は自然な形のオイラー積を持ち、ある種の仮定のもとで、全平面に有理型に解析接続されることがわかった。
以上の結果をさらに精密化して、数論的な応用を得ることはこれからの課題である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
階数２以上の群に対するセルバーグ型ゼータ関数を新たに構成し、数論的な応用を得ることは研究の主目的のひとつであった。今年度新たに、
（i）不定値直交群ふたつの直積で次数の積が偶数の場合
（ii）種数２のジーゲルモジュラー多様体
の場合にも、Kタイプの異なる跡公式をいくつか組み合わせることにより、跡公式の単純化を導き、それらを用いてセルバーグ型ゼータ関数が定義できること。
以上のことが分かったので、研究計画はおおむね順調に進展しているといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
階数２の跡公式をより“直接的”に単純化するために、 階数２の群上の“特異点を持った”異なるKタイプをもつ一般化Whittaker関数の線形結合から「擬尖点形式」を具体的に構成する。構成された「擬尖点形式」を試験関数として用いて、跡公式を単純化して、セルバーグ型ゼータ関数を定義し、解析的性質を調べる。あわせて、数論的応用も研究する。
上記の跡公式の単純化と“階数１の非ユニタリ表現付きの跡公式”を比較検討する。これらと関係が深いと予想される“PollicottとSharpによるHigher Teichmuller理論に現れるゼータ関数”との関連をより詳細に調べたい。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍により、国内外の研究打ち合わせのための出張がいくつかキャンセルになり、次年度に持ち越しとなった。次年度に改めてスケジュールを調整し、研究討論・打ち合わせを行うための旅費に使用する。
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