2020 Fiscal Year Research-status Report
高種数テイト曲線の周期の理論とベクトル値タイヒミュラー保型形式の数論
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20K03516
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| Research Institution | Saga University |
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Principal Investigator |
市川 尚志 佐賀大学, 理工学部, 教授 (20201923)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
庄田 敏宏 佐賀大学, 教育学部, 准教授 (10432957)
中村 健太郎 佐賀大学, 理工学部, 准教授 (90595993)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 代数曲線 / アーベル微分 / 周期積分 / KP階層 / ソリトン解 / 準周期解 / テイト曲線 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
テイト曲線とは、有理整数を係数とする巾級数環上で定義された楕円曲線の族であり、数論幾何のさまざまな分野で応用されている。研究代表者は以前の研究において、テイト曲線の高種数化である「高種数テイト曲線」を構成し、タイヒミュラー空間上の保型形式「タイヒミュラー保型形式」の研究に応用していた。
本研究においては、いろいろな退化有理曲線の普遍変形として得られていた高種数テイト曲線を融合することにより、すべてのリーマン面と非アルキメデス的局所体上定義されたマンフォード曲線を統合する「普遍マンフォード曲線」の構成と、タイヒミュラー保型形式への応用を目指している。さらに普遍マンフォード曲線上の微分形式と周期積分を構成して、数学と理論物理学のさまざまな分野に応用することも目標としている。
この全体的な研究計画を踏まえ、令和２年度の研究においては、高種数テイト曲線上のアーベル微分として「普遍アーベル微分」の明示公式を与えて、次の応用を行った。
・リーマン面やマンフォード曲線の退化に伴うアーベル微分の漸近挙動について研究し、今までリーマン面に対し解析的な方法によって得られていたアーベル微分の漸近公式を、数論幾何的な方法を用いてマンフォード曲線を含んだ形で拡張した。
・ソリトン解を持つ非線形偏微分方程式の代表例であるKP階層の準周期解は、タイヒミュラー保型形式の重要な例を与えるが、上記の漸近公式を用いることによりこの準周期解の退化について研究し、準周期解とソリトン解の混合物として表されるKP階層の解の一般的な表示を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の目標を順調に達成すると共に、当初予期していなかったソリトン理論への応用も視野に入れることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
普遍マンフォード曲線に関する理論の完成とソリトン理論への応用を行うと共に、リーマン面の巾単周期に関する理論を発展させて、ファインマン積分の計算に応用することを目指したい。
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| Causes of Carryover |
コロナ感染拡大により研究出張ができなかったこと、独立行政法人から委嘱された業務による計18回の出張とその準備のため、研究交流の時間の確保が難しかったことにより、次年度使用額が生じた。今後は研究促進に必要な専門書と電子機器の購入、可能な場合は出張等による研究交流に使用することを計画している。
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