高種数テイト曲線の周期の理論とベクトル値タイヒミュラー保型形式の数論

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K03516
• Research Institution: Saga University
• Principal Investigator: 市川 尚志 佐賀大学, 理工学部, 教授 (20201923)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 庄田 敏宏 関西大学, システム理工学部, 教授 (10432957) ; 中村 健太郎 佐賀大学, 理工学部, 准教授 (90595993)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 代数曲線 / リーマン面 / テイト曲線 / アーベル微分 / 周期積分 / KP階層 / 準周期解 / ソリトン解

Outline of Annual Research Achievements

テイト曲線とは、有理整数を係数とする巾級数環上で定義された楕円曲線の族であり、数論幾何のさまざまな分野で応用されている。研究代表者はこれまでの研究において、テイト曲線の高種数化である「高種数テイト曲線」を構成し、その座標環上での展開を用いて、タイヒミュラー空間上の保型形式「タイヒミュラー保型形式」の理論を構成していた。本研究においては、高種数テイト曲線の周期積分とタイヒミュラー保型形式の理論を、互いに関連づけながら発展させることを目標としている。
まず高種数テイト曲線上のアーベル微分として「普遍アーベル微分」の明示公式を導き、その応用として、今までリーマン面の退化族に対し解析的な方法によって得られていたアーベル微分の漸近公式を、数論幾何的な方法を用いることによりマンフォード曲線を含んだ形で拡張した。ソリトン解を持つ非線形偏微分方程式の代表例であるKP階層の準周期解は、タイヒミュラー保型形式の重要な例を与えるが、上記の漸近公式を用いてこの準周期解の変動を研究し、準周期解とソリトン解の混合物として表されるKP階層の解の一般的な表示を得た。またトロピカル曲線から定まるテータ関数のトロピカル極限を準周期解の極限として表すことにより、KP階層の新しいソリトン解を得た。さらに与えられた種数を持つ任意のマンフォード曲線とショットキー一意化されたリーマン面を導く「普遍マンフォード曲線」を、すべての退化データに対応する高種数テイト曲線を糊付けすることによって構成し、その応用として、アーベル積分の非可換化である普遍マンフォード曲線上の巾単周期の理論を構成し、その漸近的な明示公式を多重対数関数や多重ゼータ値を用いて与えた。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

当初の目標を順調に達成すると共に、ソリトン方程式の理論に新しい展望を与えることができた。

Strategy for Future Research Activity

新しく得られたソリトン解の性質を調べると共に、普遍マンフォード曲線と巾単周期の理論を発展させて、代数曲線の族における微分と積分に関する理論の整備と他分野への応用を目指す。

Causes of Carryover

コロナ感染拡大により研究出張を行うことが困難であり、対面での研究交流の時間の確保が難しかったことにより、次年度使用額が生じた。今後は研究促進に必要な専門書と電子機器の購入、出張等による研究交流に使用することを計画している。