2020 Fiscal Year Research-status Report
Study on the arithmetic of algebraic curves and its applications using computers
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20K03517
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
内田 幸寛 東京都立大学, 理学研究科, 准教授 (90533258)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 矩形求積公式 / 直交多項式 / 局所大域性 / 双接線 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) 矩形求積公式(quadrature formula)の有理性に関する不定方程式について共同研究を行った。矩形求積公式は、ある測度について多項式を積分するとき、ある次数以下の多項式について、その積分値を有限個の点（ノード）での多項式の値の線形結合で与えるもので、数値積分で利用される。本研究では、矩形求積公式のノードがすべて有理数になるための条件を考える。これは数値積分だけでなく、Waring問題などに利用されるHilbert恒等式の構成にも応用がある。ノードがすべて有理数になるための条件は、ある不定方程式が有理数解を持つという条件に言い換えられる。さらに、Riesz-Shohatの定理により、この不定方程式は準直交多項式が有理数の範囲で因数分解できるかという問題にも帰着される。この問題を代数幾何学や整数論の手法によって考察し、ある条件の下での非存在命題を得ている。また、その成果を研究集会で講演した。
(2) 代数幾何学的対象の局所大域性について共同研究を行った。具体的には、非特異平面4次曲線の双接線について、局所大域性が成り立たない場合があることを示し、また有理数体上での具体例を構成した。ここでは、計算機代数システムによって群論に関するある命題を証明し、それを利用することで、双接線の存在について局所大域性が成立しない非特異平面4次曲線が存在することを示している。また、具体例の構成にも計算機代数システムを用いた。この結果は論文として掲載された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
新型コロナウイルス感染症の影響により、国内外の出張は全く行うことができなかった。一方、研究集会等がオンラインで開催されるようになったことで、これまでとは違った形で情報収集・研究発表を行うことができた。それによって、「研究実績の概要」で述べたような成果が得られたことから、研究はおおむね順調に進展していると考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究計画に従って、代数曲線の数論に関する問題について、計算機も活用して研究を推進する。通常であれば国内外の出張によって行っている情報収集・研究発表を、新型コロナウイルスの感染が拡大している状況においてはオンラインも活用して行いたい。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの感染拡大により、予定していた出張を行うことができなかったため、次年度使用額が生じた。次年度使用額は計算機等の購入に使用するとともに、状況が改善して出張が可能になれば、出張旅費として使用する計画である。
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