2022 Fiscal Year Research-status Report
Study on the arithmetic of algebraic curves and its applications using computers
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20K03517
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
内田 幸寛 東京都立大学, 理学研究科, 准教授 (90533258)
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2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | Somos数列 / 超楕円曲線 / 矩形求積公式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Somos数列の数論的性質に関する共同研究を行った。（一般の）Somos数列は、双線形漸化式で定義される数列で、楕円曲線と関係するelliptic divisibility sequence (EDS)を特別な場合として含んでいる。初期値や係数が適切な条件を満たすとき、Somos数列はすべての項が整数となることが知られている。本研究では、種数2の超楕円曲線に対して定まる、Cantorの等分多項式の値がなすSomos数列について研究した。特に、このSomos数列の素数を法とした周期性について、有限個の素数を除いて周期が存在し、その周期が超楕円曲線のJacobi多様体の点の位数を用いて評価できることを証明した。これはすでに知られているEDSの場合と同様の結果である。
また、昨年度までに引き続き、矩形求積公式(quadrature formula)に関連する不定方程式について共同研究を行った。与えられた重み関数に関する多項式の積分値を、有限個のノードにおける多項式の値の相加平均として表す矩形求積公式は、代数的組合せ論でデザインと呼ばれるものに相当する。ノードが実数である場合はすでに多くの結果が知られている。本研究では、デザインが具体的に構成できるかどうか、およびノードを有理数または代数的数にできるかどうかを研究した。その結果として、ある条件の下で、ノードが代数的数であるデザインを具体的に構成した。引き続き関連する問題について研究を進めている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Somos数列の周期性について一定の成果を得ることができた。この成果については、研究集会で発表しており、論文を執筆中である。また、矩形求積公式に関する研究も着実に進展しており、本研究課題は順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究計画に従って、Somos数列や矩形求積公式など、代数曲線の数論に関連する問題の研究を行う。計算機による実験と理論的な考察の両面から研究を進める方針である。研究成果を論文にまとめるとともに、研究集会での情報収集や成果発表も積極的に行いたい。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症の影響によりオンライン開催となった学会があったことから、主に旅費について次年度使用額が生じた。学会・研究集会への旅費等に使用する計画である。
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