2020 Fiscal Year Research-status Report
Study of algebraic methods for Morita dual of finite tensor categories and related algebraic structures
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20K03520
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| Research Institution | Shibaura Institute of Technology |
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Principal Investigator |
清水 健一 芝浦工業大学, システム理工学部, 准教授 (70624302)
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2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | ホップ代数 / テンソル圏 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(a) 投稿中だった柴田大樹氏 (岡山理科大学) との共著論文 "Categorical aspects of cointegrals on quasi-Hopf algebras" が Journal of Algebra 誌へ掲載受理された．
(b) 柴田大樹氏との共同研究として，有限アーベル圏における修正トレースとその性質について調べた．我々の理論では，有限アーベル圏上の射影対象のクラスの上で定義された，右完全関手Σでひねられたトレースを考察する．基本的な結果は，そのようなトレースは，Σから中山関手への自然変換と一対一に対応するということである．トレースの様々な性質（例えば非退化性や加群構造との整合性）は，対応する自然変換の言葉で簡潔に記述される．この理論の応用として，ピボタル構造を持つ有限テンソル圏が非退化な両側修正トレースを持つこととそのピボタル構造が球面的であること，有限リボン圏が非退化な両側修正トレースを持つこととユニモジュラー性が同値であること，モジュラーテンソル圏は常に非退化な両側修正トレースを持つことなどを示すことができた．以上の結果はプレプリント arXiv:2103.13702 として公開中であり、学術雑誌へ投稿中である．
(c) 上記の研究において，余加群代数の表現圏における修正トレースは，余加群代数上のある種の余積分と対応することが分かった．これを受けて，余加群代数上の余積分について調べ，存在性，非退化性，中山自己同型の表示についての結果を得た．特に，有限次元ホップ代数の余イデアル部分代数はいつも "grouplike cointegral" を持つのではないかと予想していたが，本研究で得られた積分の存在基準によって否定的に解決された．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
新型コロナウイルスの影響のため，研究発表を全く行うことができなかった．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究から，ホップ代数の表現論およびテンソル圏の理論において，中山関手の際立った重要性が明らかになっている。2020年度に研究する予定だった，余代数や関手圏における中山関手の表示について，予想されていることを確認したい．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの影響により，参加予定だった研究集会がすべて中止またはオンライン開催となったため．
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| Remarks |
Kenichi Shimizu
https://sites.google.com/site/shimikenx/
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