2021 Fiscal Year Research-status Report
Commutative Ring Theory via Resolution of Singularities
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20K03522
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
渡辺 敬一 明治大学, 研究・知財戦略機構(生田), 研究推進員(客員研究員) (10087083)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | integrally closed ideal / normal Hilbert function / normal Rees algebra / Hilbert-Kunz 重複度 / elliptic singularity / elliptic ideal / numerical semigroup / inverse polynomial |
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| Outline of Annual Research Achievements |
主たる研究実績は次の３つである．
1. 2次元正規局所環の整閉イデアルに対して，"elliptic ideal", "strongly elliptic ider" の概念を定義し，この概念とそのイデアルの正規 Hilbert 係数， Rees 環との関係を明らかにした．この結果は "Normal Hilbert coefficients and elliptic ideals in normal 2-dimensional local domains", (Nagoya Mathematical Journal, 出版予定．( 山形大学の奥間智宏教授，Genova 大学の M.-E. Rossi 教授，日本大学の吉田健一教授との教書)．
2. 正標数の体上の Hilbert-Kunz 重複度に関して "Hilbert-Kunz density functions for graded domains", J. Pure and Appl. Algebra, vol. 226 (2022) (Tata 研究所 V. Trivedi 教授との共著) として出版された．
3. 多項式環の準同型像である Gorenstein Artin 局所環は F. S. Macauly の提唱した Inverse polynopmial で決定される． 数値半群 H とその元 h に対して Inverse Polynomial の概念を提唱した．著者はこの概念が数値半群にの研究に対して大変有用である事に気付き， Inverse polynomials of numerical semigroup rings, arXiv 2108.04513 (日本工業大学衛藤和文教授との共著) として発表し，IIT Bombay の online セミナーで 2021 年8月 13 日に講演を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
コロナ禍によって，全く国内，海外出張出張ができなかったのは研究の進展にとって，大変なマイナスだった．ある程度は Zoom その他の online セミナーでカヴァーできたが，やはり実際に顔を合わせて話し合う事は研究の進展に大変重要であることを改めて痛感した，それでもメールを交換したり，online セミナーを行う事で，ある程度は進展して，何とか結果を残す事ができた．
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| Strategy for Future Research Activity |
integrally closed ideal に関して，core の概念がある．実際に計算するのは大変難しいのだが，今まで作った理論を用いて計算ができるようにしたい．
また数値半群の Inverse polunomial に関して更なる応用とまだ解明されていない，５元生成以上の symmetric 数値半群の
定義イデアルに対する研究を進展させたい．また stretched ば半群環の研究も行って行きたい．
コロナ禍が下火になり，やっと海外渡航もできるようになったので海外の研究集会に参加して，研究成果の発表を行なったり，情報交換をしたり，共同研究を行ったりして研究を進展させて行きたい．
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| Causes of Carryover |
本研究の使用目的の最大のものが国内及び海外の研究集会での研究連絡および共同研究のための旅費であった．しかしコロナのために，使用できた旅費は 国内旅費１件のみであった．コロナが大分落ち着いたために，これからは国内，海外での研究連絡，研究成果のための研究周囲あへの参加が可能になり，旅費が必要になって来ると思われる．
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