2021 Fiscal Year Research-status Report
新しい積分表示による広いクラスの多重ゼータ値の関係式
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20K03523
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| Research Institution | Osaka Institute of Technology |
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Principal Investigator |
鎌野 健 大阪工業大学, ロボティクス&デザイン工学部, 准教授 (50409611)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 多重ゼータ値 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度(2021年度)は，積分範囲が１次元的でない表示の多重ゼータ値に関して研究を進める予定であったが，１次元的な積分範囲の場合においてもまだ研究の余地があり，それらについて研究を行なった．通常の多重ゼータ値と等号つき多重ゼータ値を補間するt多重ゼータ値が知られており，これはtを変数とする多項式で，t=0のときに通常の多重ゼータ値を与え，t=1のときに等号つき多重ゼータ値を与える．この多重対数関数版も考えることができるが，本研究課題の主要な研究手法としている積分表示を用いて，これを大幅に拡張した関数を考案した．本関数については，Landen connection formulaをはじめとする既存の関係式を拡張したものが成り立つことを証明した．
また，近年通常の多重ゼータ値とlevel 2の多重ゼータ値を補間するような対象が考案されている．その類似により，通常の多重ベルヌーイ数とlevel 2の多重ベルヌーイ数の補間を考えることができる．この数の定義に用いる拡張された多重対数関数は反復積分表示を持ち，本研究の内容とも関係が深いものである．研究代表者はこの新しいベルヌーイ数について，これらがある種の多項式で表現できること，既存の漸化式と似た関係式を満たすこと，母関数の性質がこの数を特徴づけること，などの証明に成功した．また対応するArakawa-Kanekoゼータ関数について，既存の性質が自然に拡張されることも確認できた．これらの結果は通常の多重ベルヌーイ数とlevel 2の多重ベルヌーイ数の関係式を連続的に補間しており興味深いものと考えられる．現在これらの結果を含む論文を作成中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度(2021年度)に研究を行なったt補間した多重ゼータ値を拡張した多重ゼータ値について，いくつかの興味深い性質が証明できている．しかし，まだ全貌が明らかになっていないため，さらに詳しく調べている最中である．
通常の多重ベルヌーイ数とlevel 2の多重ベルヌーイ数の補間に関しては，今年度(2021年度)の研究により自然な定義であることが確認でき，研究の概形は固めることができたと考えている．現在この結果を含む論文を作成中であるが，今後はその応用についても研究を進めたい．
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| Strategy for Future Research Activity |
１次元的な場合の研究が進んだことで多くの知見が得られている．それを利用して，当初の予定通りの１次元的でない場合の多重ゼータ値に関しての研究を行う．なお新型コロナウイルスの影響により，今後も研究集会のオンライン開催等が予想され，研究打合せや意見交換に支障が出る可能性が高い．適切にオンライン会議等を駆使することで対応していく．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの影響により，参加予定の研究集会がオンライン開催となったため，旅費の支出がなくなった．次年度では徐々に対面開催も行われると思われるため，繰越残金はそれらに利用する予定である．
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