2020 Fiscal Year Research-status Report
Application of substitutive dynamical system to number theory
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20K03528
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
秋山 茂樹 筑波大学, 数理物質系, 教授 (60212445)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 自己誘導構造 / ディオファントス近似 / 置換規則 / タイリング / スツルム語 / Pisot 数 / Markoff Lagrange スペクトル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
フェルマーらせん上に等角無限点列をとったとき相対稠密かつ一様離散となるためには回転角が難近似であることが必要十分であることをしめし葉序の理論的な土台を築くことができた。この結果は極めて基本的なものであるが、これまで注意されてこなかった。この結果を受けて、A.Haynes 等との共同研究が進んでいる。高次元の一様分布、格子の幾何学、軌道が一様に広がる力学系に対して研究を広げることも期待できる。
P. Mercat との共同研究では Rauzy によるサブシフトの幾何学的実現が純離散スペクトルを示すための新たな必要十分条件を与えた。この方法の利点は、その条件がオートマトンの計算により決定可能であることである。そのことを利用して、具体的な無限クラスや、S-adic なクラスでも計算を行った。特に行列を共有する異なる置換規則に関する特別な S-adic なシフトに関して、全てが純離散であることを示した。スペクトルの純離散性は点集合の平行移動に関する概周期性と同値であり、物理的には高エネルギー線による回析を行ったときに本質的に離散スペクトルのみを生ずる点集合である事とも同値となる。従って、準結晶の数学的なモデルを与える。この観点から非周期構造でパターンの繰り返しの豊富な構造をとらえ、準周期秩序の数学と呼ばれる分野が近年注目を浴びて発展している。
数論的な方向の研究の発展として、金子元とともに Markoff-Lagrange スペクトルの乗法的な類似を研究した。この研究は特殊な記号力学系上に定まる関数の最適化問題に翻訳され、とくに禁止語が徐々に減り、初めて非周期無限語が生ずるような臨界点の研究が重要となる。この臨界点で置換規則が自然に表れる。このように関連研究は様々な分野と密接に関連しておることが分かってきており今後の発展が期待される。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
Markoff-Lagrange スペクトルの乗法類似の方向は研究題材が非常に豊富であり、記号力学系上に定まる関数の最適化問題に翻訳される。禁止語が徐々に減り、初めて非周期無限語が生ずるような臨界点の研究が重要である。その臨界点では自然にエントロピー零の空間が対応し、置換規則が自然に表れることが多い。このように様々な分野と密接に関連しておることが分かってきている。力学系、フラクタル解析、数論などの様々な手法が用いられることが分かる。
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| Strategy for Future Research Activity |
Markoff-Lagrange スペクトルの乗法類似については多くの話題を取り込むことで今までよりも広い研究グループに発展していくことが期待できる。フラクタル幾何では、熱力学形式化の手法、記号力学系との関連では様々なオートマトン計算、さらに測地流の性質をよく調べる必要がある。これらの様々な道具を援用することで、これまで扱えなかった一般の Pisot 数、さらに Salem 数を底とする乗法的スペクトルの研究を推し進める。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍で共同研究および国際研究集会の機会が失われたため。今年度にはワクチン接種も進み、延期されていた国際集会も再オーガナイズされる予定となっている。これに対応して幾つか招へいも受けており、成果発表と新規の共同研究を進めるために研究費を有効に用いたい。
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