2023 Fiscal Year Research-status Report
Lubin--Tate space and Galois representations
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20K03529
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
津嶋 貴弘 千葉大学, 大学院理学研究院, 准教授 (70583912)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 代数曲線 / エタールコホモロジー / ユニタリー群 / 直交群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有限体上の代数曲線の有理点の個数についてはHasse-Weil評価が古来よりよく知られている． その評価の最大値を取る代数曲線を最大曲線と呼ぶ． 最大曲線は代数幾何符号で用いられることもある． 最大曲線がどのぐらいあるか， また具体的な代数曲線が最大曲線かどうかは興味深い問題である． 標数2の有限体上の鈴木曲線は鈴木群の表現を構成するときに用いられる． 定義方程式を奇素数標数で考えたものを一般化された鈴木曲線と呼ぶ． その更なる一般化を考えて， 底の拡大をした際の有理点の個数を決定した． その結果， 考えている代数曲線が最大曲線になるかどうかの判定条件を与えた． これらについての結果をまとめ論文を出版した．
有限体上の加法多項式が与えられたとき， それを用いてハイゼンベルグ群が定義される． そのハイゼンベルグ群と整数環を加法群として見たときの半直積群をガロワ群に持つような局所体のガロワ拡大を構成した． その構成を用いて局所体上のガロワ表現を構成した． その次元は与えられた加法多項式の次数に一致する． 群の表現が原始的とは， いかなる真の部分群の表現の誘導表現とも同型にならないことをいう．上で構成したガロワ表現がいつ原始的になるかに関する判定条件を幾何学的に与えた． これについての結果を論文として出版した．
有限体上のユニタリー群が作用する有限体上のアフィン代数多様体を考えて， その中間コホモロジーをユニタリー群の表現として研究した． さらに変種として直交群が作用する類似のアフィン代数多様体を構成しその中間コホモロジーも研究した． いずれの場合にもHowe対応と関係があり， その関係を明らかにしている． これらに関する論文をまとめ出版した． Van Der Geer-Van der Vlugtの超特異代数曲線に関する結果の一般化を行なった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
有限体上の具体的な定義方程式を持つ代数曲線がいつ最大曲線になるか， というのは興味深い問題であり， 代数幾何符号でも用いられる． この問題は古来より研究がなされており， 現在も研究がなされている．
上でも述べたように一般化された鈴木曲線の更なる一般化を考えることで， 幾つかの最大曲線を発見できたことは当初の計画にはなかった．
Van Der Geer-Van der Vlugtが超特異代数曲線の族を構成することで， 最大曲線を発見したという結果がある． 分岐理論的な観点から， この結果の一般化を行なった． これは当初全く予期していなかったので， 興味深い結果であると考えている．
以上のことを勘案すると， 当初の計画以上に進展していると言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き， 有限体上の最大曲線の問題について研究を行う． また当初予定のLubin--Tate空間におけるアフィノイドに関する研究も推進していく予定である．
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